Resumo do Enunciado: Temos uma matriz 4x3 e precisamos reduzi-la à forma escada por linhas. Além disso, devemos determinar o posto e a nulidade dessa matriz. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como operações elementares em linhas para simplificar a matriz e, posteriormente, identificar seu posto (número de linhas não nulas) e nulidade (dimensão do espaço nulo).
Passo 2
Matriz Original: Primeiramente, vamos escrever a matriz fornecida:
0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1
Nosso objetivo é transformá-la em uma matriz triangular, onde elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 3
Primeira Operação - Troca de Linhas: Observamos que o primeiro elemento da primeira coluna é 0, o que dificulta as operações. Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha, onde o elemento na primeira coluna é 1.
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1
Passo 4
Zerando os Elementos Abaixo do Pivô (1,1): Agora, queremos que os elementos abaixo do 1 na primeira coluna sejam zeros.
Linha 3: Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1 3 - 3(1) & -4 - 3(1) & 2 - 3(3) = 0 & -7 & -7
Linha 4: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1 2 - 2(1) & -3 - 2(1) & 1 - 2(3) = 0 & -5 & -5
A matriz fica assim:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5
Passo 5
Segunda Operação - Zerando os Elementos Abaixo do Segundo Pivô (2,2): O segundo pivô é o 2 na posição (2,2). Queremos zerar os elementos abaixo dele nas linhas 3 e 4.
Linha 3: Adicionamos Linha 3 = Linha 3 + 72 times Linha 2 0 + 0 & -7 + 72(2) & -7 + 72(2) = 0 & 0 & 0 vezes a segunda linha à terceira linha.
Linha 4 = Linha 4 + 52 times Linha 2 0 + 0 & -5 + 52(2) & -5 + 52(2) = 0 & 0 & 0
Linha 4: Adicionamos 1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 vezes a segunda linha à quarta linha.
A matriz agora está na forma escada por linhas:
Passo 6
Determinação do Posto e Nulidade:
Posto (Rango): É o número de filas não nulas na forma escada. Aqui, temos 2 filas não nulas, então o posto é 2.
Nulidade: Conforme o Teorema da Dimensão, a nulidade é dada por:
Nulidade = Número de colunas - Posto = 3 - 2 = 1 ú