(a) Use matrizes elementares para escrever a matriz A=[cccc1 & 3 & 2 & 1 2 & 5 & 6 & 2 -3 & -2 & 7 & -3 1 & 3 & 2 & 2] na forma A=B C, onde B é triangular inferior e C é triangular superior (OBS: uma matriz n times n é triangular inferior se todos os valores acima da diagonal principal são nulos; uma matriz n times n é triangular superior se todos os valores abaixo da diagonal principal são nulos).
(b) Calcule det A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisa escrevê-la como o produto de duas matrizes: B, que é triangular inferior, e C, que é triangular superior. Além disso, depois disso, vamos calcular o determinante de A. Para isso, vamos usar o método das matrizes elementares, que são matrizes que correspondem a operações básicas de linha. Vamos precisar entender um pouco sobre matrizes triangulares e operações de linha para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são matrizes triangulares. Uma matriz é triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Já uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Nosso objetivo é transformar a matriz A em um produto B C, onde B é triangular inferior e C é triangular superior.

Passo 3

Para conseguir isso, vamos utilizar matrizes elementares, que são matrizes que representam operações básicas de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar ou adicionar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações nos ajudam a simplificar a matriz A passo a passo.

Passo 4

Vamos começar aplicando operações de linha para transformar a matriz A em uma matriz triangular superior. Cada operação que fazemos vai corresponder a uma matriz elementar que vai compor a matriz C. Depois, o produto dessas matrizes elementares formará a matriz B triangular inferior.

Passo 5

Aplicando as operações de linha necessárias na matriz A, obtemos:
C = 1 & 3 & 2 & 1 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 7 & -3 0 & 0 & 0 & 1
E a matriz triangular inferior B fica:
B = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 -3 & -2 & 1 & 0 1 & 3 & 2 & 1

Resposta

Portanto, a matriz A pode ser escrita como o produto de uma matriz triangular inferior B e uma matriz triangular superior C, ou seja, A = B C. Além disso, o determinante de A é o produto dos determinantes de B e C:
det A = det B times det C = (1) times (-1 times 7 times 1) = -7

Exercícios relacionados

Seja A=(ccc1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1). Determine se A é inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.
5a) todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: T(x, y)=2 x+y
Sejam
A=[rrr 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 ], B=[rrr -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 ], C=[r -1 2 4 ], D=[ll 2 & -1 ]
(b) A cdot C