Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você me enviou. Você tem a função
e parece que queremos encontrar onde essa função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos, ou seja, seus extremos. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são uma ferramenta da cálculo diferencial. Não se preocupe se isso parece complicado agora, vou te explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função. Em termos simples, ela nos mostra o quanto a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto. Se a derivada for zero, isso significa que a inclinação é plana nesse ponto – podendo ser um ponto alto, um ponto baixo ou um ponto de inflexão.
Passo 3
Então, vamos calcular a primeira derivada da nossa função
. A regra básica para derivar é:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante multiplicada por
é apenas a constante.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os pontos onde a derivada é zero, porque esses são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo. Então, igualamos
a zero e resolvemos para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Mas só saber que a inclinação é zero não nos diz se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Para descobrir isso, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Passo 6
A segunda derivada
é positiva para todo
. Quando a segunda derivada é positiva em um ponto crítico, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um mínimo.
Passo 7
Então, sabemos que em
a função atinge seu valor mínimo. Para encontrar o valor mínimo, substituímos
na função original:
Resposta
A função
atinge seu mínimo no ponto
.
Exercícios relacionados
b)
(negra da eadiaia)
Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
b) .
b)
Determine um número positivo cuja diferença entre seu cubo e ele seja mínima.
de lista serto
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