Dizemos que uma matriz é ortogonal se, e somente se, A A^T=I.
(a) Determine os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) * Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes ortogonais! A gente vai precisar entender o que é uma matriz ortogonal e utilizar algumas propriedades de determinantes e transpostas para achar os resultados. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz A A^T = I é ortogonal se satisfaz a condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): determinar os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
Sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
det(A^T) = det(A)
E também, para o determinante do produto de duas matrizes:
det(A A^T) = det(A) cdot det(A^T) = det(A) cdot det(A) = (det(A))^2
Mas, como (det(A))^2 = det(I) = 1 , e o determinante da matriz identidade é 1:

Passo 4

Da equação det(A) = pm 1 , podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 5

Portanto, o determinante de uma matriz ortogonal pode ser ou 1 ou -1.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que o produto de duas matrizes ortogonais também é uma matriz ortogonal.

Passo 7

Vamos chamar as duas matrizes ortogonais de AB (AB)^T = I e . Queremos provar que o produto também é ortogonal, ou seja, que:

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar a transposta de (AB)^T = B^T A^T :

Passo 9

Agora, vamos multiplicar AB (AB)^T = AB B^T A^T por sua transposta:

Passo 10

Sabemos que AB B^T A^T = A I A^T = A A^T é ortogonal, então . Substituindo isso na equação:

Passo 11

E como AB (AB)^T = I também é ortogonal, . Portanto:

Passo 12

Isso mostra que é uma matriz ortogonal.

Resposta

O produto de duas matrizes ortogonais e também é uma matriz ortogonal.

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