Dizemos que uma matriz é ortogonal se, e somente se, .
(a) Determine os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) * Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes ortogonais! A gente vai precisar entender o que é uma matriz ortogonal e utilizar algumas propriedades de determinantes e transpostas para achar os resultados. Vamos lá?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se satisfaz a condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a): determinar os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
Sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
E também, para o determinante do produto de duas matrizes:
Mas, como , e o determinante da matriz identidade é 1:
Passo 4
Da equação , podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Portanto, o determinante de uma matriz ortogonal pode ser ou 1 ou -1.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): mostrar que o produto de duas matrizes ortogonais também é uma matriz ortogonal.
Passo 7
Vamos chamar as duas matrizes ortogonais de e . Queremos provar que o produto também é ortogonal, ou seja, que:
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar a transposta de :
Passo 9
Agora, vamos multiplicar por sua transposta:
Passo 10
Sabemos que é ortogonal, então . Substituindo isso na equação:
Passo 11
E como também é ortogonal, . Portanto:
Passo 12
Isso mostra que é uma matriz ortogonal.
Resposta
O produto de duas matrizes ortogonais e também é uma matriz ortogonal.