Determine: número(s) crítico(s) de f; os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais é crescente e aqueles onde é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo, dada a função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função . O que precisamos encontrar são:
  1. Os números críticos de .
  2. Os extremos relativos de .
  3. Os pontos de inflexão do gráfico de .
  4. Os intervalos onde está crescendo e onde está decrescendo.
  5. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: primeira e segunda derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função em termos de crescimento, pontos críticos e concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os números críticos da função. Números críticos são os valores de onde a primeira derivada é zero ou não existe. Essa informação nos ajuda a identificar possíveis máximos e mínimos locais.
Vamos calcular a primeira derivada de :
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os números críticos são e .

Passo 3

Agora que temos os pontos críticos, vamos determinar se eles correspondem a máximos ou mínimos relativos. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos. Vamos usar o teste da segunda derivada aqui.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
Como , isso significa que tem um mínimo relativo em .
  • Para :
Como , isso significa que tem um máximo relativo em .

Passo 4

Vamos agora identificar os pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Já temos a segunda derivada:
Vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então, é um candidato a ponto de inflexão. Para confirmar, vamos verificar o sinal de nos intervalos ao redor de :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima quando passamos por , é realmente um ponto de inflexão.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada :
Os pontos críticos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos testar o sinal de em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, :
Então, está crescente nesse intervalo.
  • Para , por exemplo, :
Então, está decrescente nesse intervalo.
  • Para , por exemplo, :
Então, está crescente nesse intervalo.

Passo 6

Por último, vamos verificar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Isso está relacionado ao sinal da segunda derivada :
  • Para :
Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
  • Para :
Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.

Resposta

  • Números críticos: e .
  • Extremos relativos:
    • Mínimo relativo em .
    • Máximo relativo em .
  • Ponto de inflexão: .
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalo de decrescimento:
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em .
    • Côncavo para cima em .

Exercícios relacionados

Encontre
Encontre as derivadas das seguintes funções:
Encontre as derivadas das seguintes funções:
Calcule: