Determine: número(s) crítico(s) de f; os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais
é crescente e aqueles onde
é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo, dada a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função
. O que precisamos encontrar são:
- Os números críticos de
. - Os extremos relativos de
. - Os pontos de inflexão do gráfico de
. - Os intervalos onde
está crescendo e onde está decrescendo. - Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: primeira e segunda derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função em termos de crescimento, pontos críticos e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os números críticos da função. Números críticos são os valores de
onde a primeira derivada
é zero ou não existe. Essa informação nos ajuda a identificar possíveis máximos e mínimos locais.
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os números críticos são
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos críticos, vamos determinar se eles correspondem a máximos ou mínimos relativos. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos. Vamos usar o teste da segunda derivada aqui.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso significa que
tem um mínimo relativo em
.
- Para
:
Como
, isso significa que
tem um máximo relativo em
.
Passo 4
Vamos agora identificar os pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Já temos a segunda derivada:
Vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então,
é um candidato a ponto de inflexão. Para confirmar, vamos verificar o sinal de
nos intervalos ao redor de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima quando passamos por
,
é realmente um ponto de inflexão.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada
:
Os pontos críticos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos testar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
Então,
está crescente nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então,
está crescente nesse intervalo.
Passo 6
Por último, vamos verificar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Isso está relacionado ao sinal da segunda derivada
:
- Para
:
Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
- Para
:
Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.
Resposta
- Números críticos:
e . - Extremos relativos:
- Mínimo relativo em
. - Máximo relativo em
.
- Mínimo relativo em
- Ponto de inflexão:
. - Intervalos de crescimento:
-
- Intervalo de decrescimento:
-
- Concavidade:
- Côncavo para baixo em
. - Côncavo para cima em
.
- Côncavo para baixo em
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