Prove que
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se os limites de duas funções,
e
, quando
tende ao infinito, são ambos
, então o limite do produto dessas funções também é
. Isso envolve conceitos de limites no cálculo, especialmente sobre o comportamento de funções que crescem sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
aumenta sem parar, os valores de
também aumentam sem limite. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende a
. Isso significa que estamos multiplicando duas funções que, individualmente, crescem sem limite à medida que
aumenta.
Passo 4
Sabemos que se duas funções ambas tendem ao infinito, então seu produto também tende ao infinito. Para formalizar isso, consideramos que, para qualquer número grande
, existem valores de
suficientemente grandes tais que
e
. Então,
.
Passo 5
Isso demonstra que para todo
, podemos encontrar um
grande o suficiente para que
. Portanto, o limite de
quando
tende a
é realmente
.
Resposta
Assim, provamos que