Prove que lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, então
lim x +infty(f g)(x)=+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se os limites de duas funções, e , quando tende ao infinito, são ambos , então o limite do produto dessas funções também é . Isso envolve conceitos de limites no cálculo, especialmente sobre o comportamento de funções que crescem sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, conforme aumenta sem parar, os valores de também aumentam sem limite. O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de quando tende a . Isso significa que estamos multiplicando duas funções que, individualmente, crescem sem limite à medida que aumenta.

Passo 4

Sabemos que se duas funções ambas tendem ao infinito, então seu produto também tende ao infinito. Para formalizar isso, consideramos que, para qualquer número grande , existem valores de suficientemente grandes tais que e . Então, .

Passo 5

Isso demonstra que para todo , podemos encontrar um grande o suficiente para que . Portanto, o limite de quando tende a é realmente .

Resposta

Assim, provamos que
lim x +infty(f cdot g)(x)=+infty

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