Determine os números reais a e b para que a matriz [ccc0 & 2 & a-b a+b & 0 & 0 1 & 0 & 0]
seja simétrica,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir os números reais 0 & 2 & a - b a + b & 0 & 0 1 & 0 & 0 e que fazem a matriz
ser simétrica. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes simétricas. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e como igualar os elementos correspondentes da matriz com sua transposta.

Passo 2

Primeiro, o que é matriz simétrica? Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, para todo elemento da matriz original, ele deve ser igual ao elemento na transposta.

Passo 3

Vamos transpor a matriz dada:
[
0 & 2 & a - b a + b & 0 & 0 1 & 0 & 0 ^T = 0 & a + b & 1 2 & 0 & 0 a - b & 0 & 0 ^T


]
Agora, para a matriz ser simétrica, cada elemento da matriz original deve ser igual ao elemento da transposta.

Passo 4

Vamos igualar os elementos correspondentes:
  1. a + b = 2 a - b = 1 : (a + b) + (a - b) = 2 + 1 Rightarrow 2a = 3 Rightarrow a = 32
  2. 32 + b = 2 Rightarrow b = 2 - 32 = 12 :
  3. : (essa já está ok, não precisamos nos preocupar)
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Agora, substituindo na primeira equação:

Resposta

Os números reais que fazem a matriz ser simétrica são e .

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