Seja a matriz A=[ll2 & -1 3 & -2]. Determine:
(a) A^2;
(b) A^3;
© A^31;
(d)^* A^42.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A gente tem a matriz 2 & -1 3 & -2 e precisamos calcular suas potências: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e um truque chamado Teorema de Cayley-Hamilton, que nos ajuda a simplificar cálculos de potências grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 2 & -1 3 & -2 times 2 & -1 3 & -2 , que é simplesmente A^2 = (2 times 2) + (-1 times 3) & (2 times -1) + (-1 times -2) (3 times 2) + (-2 times 3) & (3 times -1) + (-2 times -2) = 4 - 3 & -2 + 2 6 - 6 & -3 + 4 = 1 & 0 0 & 1 multiplicada por . Para multiplicar matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Calculando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = I times A = A . Como já sabemos que 2 & -1 3 & -2 é a matriz identidade , multiplicar fica fácil:
Então, .

Passo 4

Para calcular potências maiores, como A^n = A & se n é ímpar I & se n é par e , vamos aproveitar o fato de que e . Vejamos o padrão:
  • E assim por diante.
Percebeu? As potências de se alternam entre e . Isso significa que:
éíé

Resposta

(a) 1 & 0 0 & 1
(b) 2 & -1 3 & -2
© 2 & -1 3 & -2
(d) 1 & 0 0 & 1

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