Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A gente tem a matriz e precisamos calcular suas potências: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e um truque chamado Teorema de Cayley-Hamilton, que nos ajuda a simplificar cálculos de potências grandes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que é simplesmente multiplicada por . Para multiplicar matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Calculando cada elemento:
Passo 3
Agora, vamos calcular . Como já sabemos que é a matriz identidade , multiplicar fica fácil:
Então, .
Passo 4
Para calcular potências maiores, como e , vamos aproveitar o fato de que e . Vejamos o padrão:
E assim por diante.
Percebeu? As potências de se alternam entre e . Isso significa que: