Seja a matriz . Determine:
(a) ;
(b) ;
© ;
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A gente tem a matriz e precisamos calcular suas potências: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e um truque chamado Teorema de Cayley-Hamilton, que nos ajuda a simplificar cálculos de potências grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é simplesmente multiplicada por . Para multiplicar matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Calculando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Como já sabemos que é a matriz identidade , multiplicar fica fácil:
Então, .

Passo 4

Para calcular potências maiores, como e , vamos aproveitar o fato de que e . Vejamos o padrão:
  • E assim por diante.
Percebeu? As potências de se alternam entre e . Isso significa que:
éíé

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados

Uma reta definida pelas equações paramétricas pode ser representada pelas equações reduzidas se . Essas equações são obtidas isolando na equação e substituindo o valor obtida nas demais. Dessa forma e ficam em função de , o qual atua como o parâmetro na equação. Para obter equações reduzidas em função de se ou (se , basta isolar o parâmetro na equação correspondente à respectiva variável. Determine equações reduzidas em função de para as seguintes retas:
(a)
(b)
Sejam as matrizes e . Determine os elementos e , sendo e .
Sejam as matrizes .
Determine os elementos e .
Determine números reais e tais que