Seja a matriz
. Determine:
(a)
;
(b)
;
©
;
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A gente tem a matriz
e precisamos calcular suas potências:
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e um truque chamado Teorema de Cayley-Hamilton, que nos ajuda a simplificar cálculos de potências grandes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é simplesmente
multiplicada por
. Para multiplicar matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Calculando cada elemento:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Como já sabemos que
é a matriz identidade
, multiplicar
fica fácil:
Então,
.
Passo 4
Para calcular potências maiores, como
e
, vamos aproveitar o fato de que
e
. Vejamos o padrão:
-
-
-
-
- E assim por diante.
Percebeu? As potências de
se alternam entre
e
. Isso significa que:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)