Determine onde, se existir, a reta tangente à é perpendicular à reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar onde, se existir, a reta tangente à função é perpendicular à reta . Basicamente, queremos achar os pontos onde a reta que toca a curva de é perpendicular a ela mesma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e entender o que significa duas retas serem perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação que a derivada da função nesse ponto. Então, vamos calcular a derivada de .
A derivada de é e a derivada de é simplesmente -8. Portanto:

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa que duas retas sejam perpendiculares. Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações (coeficientes angulares) for igual a -1. Ou seja, se uma reta tem inclinação , a outra deve ter inclinação .
No nosso caso, temos a reta tangente com inclinação e queremos que ela seja perpendicular à reta . Mas aqui surge um detalhe: a própria função não é uma reta, pois possui termos não lineares ( ). Portanto, o conceito de perpendicularidade se aplica entre duas retas, não entre uma reta e uma curva. Parece que há uma confusão no enunciado.

Passo 4

Assumindo que queremos que a reta tangente seja perpendicular a outra reta específica, precisaríamos conhecer a inclinação dessa outra reta. Porém, como a única reta mencionada é , que é uma função não linear, não podemos aplicar diretamente o conceito de perpendicularidade.
Isso indica que, conforme formulado, o problema não faz sentido matematicamente, pois não podemos ter uma reta tangente perpendicular a uma curva dessa forma.

Resposta

Não existe nenhuma reta tangente à função que seja perpendicular à própria função. Portanto, não há solução para o exercício.

Exercícios relacionados

Encontre a reta tagente à função no ponto .
Encontre as derivadas das seguintes funções
s)
Prove que
Derive as seguintes funções:
b) .