Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente verificar se uma certa função definida no espaço vetorial das polinômios de grau até 2, , é realmente um produto interno. Um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como ser simétrico, linear e positivo-definido. Vamos precisar lembrar dessas propriedades e testar uma a uma para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Essa função pega dois polinômios, avalia cada um deles nos pontos -1, 0 e 1, multiplica as avaliações correspondentes e soma tudo. Agora vamos verificar se ela cumpre as propriedades de um produto interno.

Passo 3

Propriedade da Simetria:
Um produto interno precisa ser simétrico, ou seja, . Vamos ver se isso acontece aqui:
Como a multiplicação é comutativa ( ), temos que . Então, a simetria está ok!

Passo 4

Propriedade da Linearidade:
O produto interno deve ser linear em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer polinômios e escalares , deve valer:
Vamos calcular o lado esquerdo:
Distribuindo:
Agrupando os termos com e :
Então, a linearidade está satisfeita!

Passo 5

Propriedade da Positividade:
Precisamos mostrar que para todo polinômio , e que iguala a zero somente se for o polinômio nulo.
Calculando:
Como estamos somando quadrados, cada termo é maior ou igual a zero. Logo, .
Além disso, se , então cada termo individualmente deve ser zero:
Um polinômio de grau até 2 que tem três raízes distintas (−1, 0 e 1) só pode ser o polinômio nulo. Portanto, a positividade está garantida!

Resposta

A função definida é um produto interno em porque satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade.

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