Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(b) V=P2(R), lang<= p, qrang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente verificar se uma certa função definida no espaço vetorial das polinômios de grau até 2, P2(R), é realmente um produto interno. Um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como ser simétrico, linear e positivo-definido. Vamos precisar lembrar dessas propriedades e testar uma a uma para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
lang<= p, q rang<= = p(-1) q(-1) + p(0) q(0) + p(1) q(1)
Essa função pega dois polinômios, avalia cada um deles nos pontos -1, 0 e 1, multiplica as avaliações correspondentes e soma tudo. Agora vamos verificar se ela cumpre as propriedades de um produto interno.

Passo 3

Propriedade da Simetria:
Um produto interno precisa ser simétrico, ou seja, lang<= p, q rang<= = lang<= q, p rang<=. Vamos ver se isso acontece aqui:
lang<= p, q rang<= = p(-1) q(-1) + p(0) q(0) + p(1) q(1)
lang<= q, p rang<= = q(-1) p(-1) + q(0) p(0) + q(1) p(1)
Como a multiplicação é comutativa ( p(a) q(a) = q(a) p(a)), temos que lang<= p, q rang<= = lang<= q, p rang<=. Então, a simetria está ok!

Passo 4

Propriedade da Linearidade:
O produto interno deve ser linear em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer polinômios p, r e escalares a, b, deve valer:
lang<= a p + b r, q rang<= = a lang<= p, q rang<= + b lang<= r, q rang<=
Vamos calcular o lado esquerdo:
lang<= a p + b r, q rang<= = (a p(-1) + b r(-1)) q(-1) + (a p(0) + b r(0)) q(0) + (a p(1) + b r(1)) q(1)
Distribuindo:
= a p(-1) q(-1) + b r(-1) q(-1) + a p(0) q(0) + b r(0) q(0) + a p(1) q(1) + b r(1) q(1)
Agrupando os termos com a e b:
= a (p(-1) q(-1) + p(0) q(0) + p(1) q(1)) + b (r(-1) q(-1) + r(0) q(0) + r(1) q(1))
= a lang<= p, q rang<= + b lang<= r, q rang<=
Então, a linearidade está satisfeita!

Passo 5

Propriedade da Positividade:
Precisamos mostrar que lang<= p, p rang<= >= 0 para todo polinômio p, e que iguala a zero somente se p for o polinômio nulo.
Calculando:
lang<= p, p rang<= = p(-1)^2 + p(0)^2 + p(1)^2
Como estamos somando quadrados, cada termo é maior ou igual a zero. Logo, lang<= p, p rang<= >= 0.
Além disso, se lang<= p, p rang<= = 0, então cada termo individualmente deve ser zero:
p(-1) = 0, p(0) = 0, p(1) = 0
Um polinômio de grau até 2 que tem três raízes distintas (−1, 0 e 1) só pode ser o polinômio nulo. Portanto, a positividade está garantida!

Resposta

A função definida é um produto interno em P2(R) porque satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade.

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