Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente verificar se uma certa função definida no espaço vetorial das polinômios de grau até 2,
, é realmente um produto interno. Um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como ser simétrico, linear e positivo-definido. Vamos precisar lembrar dessas propriedades e testar uma a uma para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Essa função pega dois polinômios, avalia cada um deles nos pontos -1, 0 e 1, multiplica as avaliações correspondentes e soma tudo. Agora vamos verificar se ela cumpre as propriedades de um produto interno.
Passo 3
Propriedade da Simetria:
Um produto interno precisa ser simétrico, ou seja, . Vamos ver se isso acontece aqui:
Um produto interno precisa ser simétrico, ou seja,
Como a multiplicação é comutativa (
), temos que
. Então, a simetria está ok!
Passo 4
Propriedade da Linearidade:
O produto interno deve ser linear em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer polinômios e escalares
, deve valer:
O produto interno deve ser linear em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer polinômios
Vamos calcular o lado esquerdo:
Distribuindo:
Agrupando os termos com
e
:
Então, a linearidade está satisfeita!
Passo 5
Propriedade da Positividade:
Precisamos mostrar que para todo polinômio
, e que iguala a zero somente se
for o polinômio nulo.
Precisamos mostrar que
Calculando:
Como estamos somando quadrados, cada termo é maior ou igual a zero. Logo,
.
Além disso, se
, então cada termo individualmente deve ser zero:
Um polinômio de grau até 2 que tem três raízes distintas (−1, 0 e 1) só pode ser o polinômio nulo. Portanto, a positividade está garantida!
Resposta
A função definida é um produto interno em
porque satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade.
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Sejam
vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que o conjunto é linearmente independente;
(b) O conjunto é ou não linearmente independente?
(a) Mostre que o conjunto
(b) O conjunto
Determine um operador linear
cujo núcleo é gerado por
.
Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
gerado pelos vetores:
Mostre que em
, o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo: