Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) :
S=(lla & b 0 & c); a, b e c in I R

Passo 1

Beleza, então temos que verificar se o conjunto é um subespaço de . Basicamente, um subespaço precisa cumprir três critérios: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Vamos precisar entender bem esses conceitos para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero em é:
Substituindo , e na definição de , temos exatamente a matriz zero. Então, contém a matriz zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar se A = a1 & b1 0 & c1 , B = a2 & b2 0 & c2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em A + B = a1 + a2 & b1 + b2 0 + 0 & c1 + c2 = a1 + a2 & b1 + b2 0 & c1 + c2 e somarmos, o resultado ainda deve estar em .
Seja:
A soma é:
Como , e são números reais, a matriz resultante também está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se A = a & b 0 & c , k in R é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz de kA = ka & kb 0 & kc por um número real qualquer, o resultado ainda deve estar em .
Seja:
A multiplicação por escalar é:
Como , e são números reais, a matriz também está em . Portanto, é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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