Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
; a, b e
Passo 1
Beleza, então temos que verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Basicamente, um subespaço precisa cumprir três critérios: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Vamos precisar entender bem esses conceitos para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto
contém a matriz zero. A matriz zero em
é:
Substituindo
,
e
na definição de
, temos exatamente a matriz zero. Então,
contém a matriz zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em
e somarmos, o resultado ainda deve estar em
.
Seja:
A soma
é:
Como
,
e
são números reais, a matriz resultante também está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz de
por um número real qualquer, o resultado ainda deve estar em
.
Seja:
A multiplicação por escalar é:
Como
,
e
são números reais, a matriz
também está em
. Portanto,
é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.