Determine um operador linear em R^4 tal que Ker(T)=[(1,0,1,0),(0,1,0,1)].

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar um operador linear em cujo núcleo (ou kernel) seja o conjunto gerado pelos vetores e . Isso significa que queremos uma transformação linear tal que para qualquer vetor que seja combinação linear desses dois vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, núcleos e como construir uma matriz que satisfaça essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de um operador linear é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . No nosso caso, sabemos que duas combinações lineares específicas de devem ser mapeadas para zero.
Como o núcleo é gerado por dois vetores, isso significa que o kernel é um subespaço de dimensão 2 em . Portanto, a imagem de terá dimensão (pela Teorema da Dimensão).

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz do operador linear A 1 0 1 0 = 0 0 , A 0 1 0 1 = 0 0 . Queremos uma matriz A = a & b & c & d e & f & g & h de tamanho 1 0 1 0 (onde a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 + d cdot 0 e cdot 1 + f cdot 0 + g cdot 1 + h cdot 0 pode ser 2, por exemplo) tal que:
a + c e + g
Essas duas equações nos dão condições lineares que os elementos da matriz 0 0 devem satisfazer. Vamos supor que a + c = 0 e + g = 0 seja uma matriz 0 1 0 1 :
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 + d cdot 1 e cdot 0 + f cdot 1 + g cdot 0 + h cdot 1
Aplicando as condições:
  1. b + d f + h
Isso nos dá as equações:
0 0
  1. b + d = 0 f + h = 0
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os elementos da matriz c = -1, d = -1, g = -1, h = -1 :
  1. De A = 1 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 , podemos dizer que .
  2. De , temos .
  3. De , temos .
  4. De , temos .
Escolhendo valores livres para , , , e , podemos construir a matriz . Para simplificar, vamos escolher , , , e . Assim, temos:
Portanto, a matriz fica:

Resposta

Um operador linear adequado é a matriz
T = 1 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & -1

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