Verifique se é linear a aplicação T: R^3 longrightarrow R, dada por T(x, y, z)=-2 x+3 y+7 z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma aplicação , definida por , é linear. Nosso assunto aqui é transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear e verificar se a função cumpre esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para todos os vetores T(cu) = cT(u) em e para todo escalar :
  1. Aditividade (ou preservação da soma):
  2. Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e T(u + v) = -2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) + 7(z1 + z2) .
Primeiro, somamos os vetores:
= (-2x1 - 2x2) + (3y1 + 3y2) + (7z1 + 7z2)
Agora, aplicamos = (-2x1 + 3y1 + 7z1) + (-2x2 + 3y2 + 7z2) nessa soma:
= T(u) + T(v)
Então, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja cu = (cx, cy, cz) um escalar e T(cu) = -2(cx) + 3(cy) + 7(cz) .
Primeiro, multiplicamos o vetor por = c(-2x) + c(3y) + c(7z) :
= c(-2x + 3y + 7z)
Agora, aplicamos = cT(u) nesse vetor escalado:
Então, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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Seja T: R^3 longrightarrow P3(R) a transformação linear tal que
T(1,0,0)=2+x^2+x^3, T(0,1,0)=1+x^2, T(0,0,1)=x^2-x^3
Determine T(x, y, z).
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Mostre que T é uma transformação linear;
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Determine a dimensão do Ker(T) e da Im(T);
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