Verifique se é linear a aplicação
, dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma aplicação
, definida por
, é linear. Nosso assunto aqui é transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear e verificar se a função
cumpre esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para todos os vetores
em
e para todo escalar
:
- Aditividade (ou preservação da soma):
- Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam
e
.
Primeiro, somamos os vetores:
Agora, aplicamos
nessa soma:
Então, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Primeiro, multiplicamos o vetor por
:
Agora, aplicamos
nesse vetor escalado:
Então, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear tal que
Determine
.
Seja
dada por
.
Mostre que é uma transformação linear;
Mostre que
Seja
dada por
.
Determine a dimensão do e da
;
Determine a dimensão do
Determine um operador linear em
tal que
.