Mostre que
, dada por
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja
e
dois vetores em
. Então:
Por outro lado:
Como
, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
um vetor em
. Então:
Portanto,
, o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
, dada por
, é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Determine um operador linear em
tal que
.
Seja
dada por
.
Determine a dimensão do e da
;
Determine a dimensão do
Seja
dada por
.
Mostre que é transformação linear;
Mostre que
Seja
dada por
.
Determine ;
Determine