Mostre que T: R^2 longrightarrow C([0,1]), dada por T(x, y)=x e^t+y e^2 t é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja T(u + v) = T((x1 + x2, y1 + y2)) = (x1 + x2) e^t + (y1 + y2) e^2t e T(u) + T(v) = (x1 e^t + y1 e^2t) + (x2 e^t + y2 e^2t) = (x1 + x2) e^t + (y1 + y2) e^2t dois vetores em . Então:
Por outro lado:
Como , a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T((cx, cy)) = (cx) e^t + (cy) e^2t = c(x e^t + y e^2t) = cT(u) um escalar e um vetor em . Então:
Portanto, , o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que , dada por , é uma transformação linear.

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