Seja T: R^2 longrightarrow R dada por T(x, y)=3 x+2 y.
Mostre que T é transformação linear;

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma transformação definida por . O objetivo aqui é mostrar que é uma transformação linear. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente às propriedades das transformações lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é linear se, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade: .
  2. Homogeneidade: .

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = 3(x1 + x2) + 2(y1 + y2) e = 3x1 + 3x2 + 2y1 + 2y2 = (3x1 + 2y1) + (3x2 + 2y2) = T(u) + T(v) . Então:
Distribuindo os termos:
Então, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy) = 3(cx) + 2(cy) = c(3x) + c(2y) = c(3x + 2y) = cT(u) um escalar e . Então:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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