Seja
dada por
.
Mostre que
é transformação linear;
Mostre que
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma transformação
definida por
. O objetivo aqui é mostrar que
é uma transformação linear. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente às propriedades das transformações lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se
satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 3
Vamos começar verificando a aditividade. Seja
e
. Então:
Distribuindo os termos:
Então, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Mostre que
, dada por
é uma transformação linear.
Determine um operador linear em
tal que
.
Seja
dada por
.
Determine ;
Determine
Seja
dada por
.
é injetora?