Seja
dada por
.
Determine a dimensão do
e da
;
Determine a dimensão do
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é determinar a dimensão do núcleo de
(
) e da imagem de
(
). Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem, além de usar a Teorema do Núcleo-Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Para isso, vamos representar
como uma matriz:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o posto dessa matriz
, que nos dará a dimensão da imagem de
. O posto é o número de linhas não nulas após reduzirmos a matriz à sua forma escalonada.
Vamos simplificar a matriz:
Somando a primeira linha com a segunda:
Agora, a matriz está na forma escalonada. Temos 2 linhas não nulas, então o posto de
é 2.
Passo 4
Com o posto de
sendo 2, sabemos que
. Agora, usando a Teorema do Núcleo-Imagem, que diz que:
Podemos encontrar a dimensão do núcleo.
Passo 5
Aplicando a Teorema do Núcleo-Imagem:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Resposta
A dimensão de
é 1 e a dimensão de
é 2.
Exercícios relacionados
Verifique se é linear a aplicação
, dada por
.
Seja
a transformação linear tal que
Determine
.
Determine um operador linear em
tal que
.
Mostre que
, dada por
é uma transformação linear.