Seja T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
Determine a dimensão do Ker(T) e da Im(T);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar a dimensão do núcleo de ( ) e da imagem de ( ). Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem, além de usar a Teorema do Núcleo-Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -3 & 5 -1 & 4 & -1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, vamos representar como uma matriz:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o posto dessa matriz 1 & -3 & 5 -1 & 4 & -1 , que nos dará a dimensão da imagem de 1 & -3 & 5 0 & 1 & 4 . O posto é o número de linhas não nulas após reduzirmos a matriz à sua forma escalonada.
Vamos simplificar a matriz:
Somando a primeira linha com a segunda:
Agora, a matriz está na forma escalonada. Temos 2 linhas não nulas, então o posto de é 2.

Passo 4

Com o posto de dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^3) = 3 sendo 2, sabemos que . Agora, usando a Teorema do Núcleo-Imagem, que diz que:
Podemos encontrar a dimensão do núcleo.

Passo 5

Aplicando a Teorema do Núcleo-Imagem:
dim(Ker(T)) + 2 = 3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
dim(Ker(T)) = 1

Resposta

A dimensão de é 1 e a dimensão de é 2.

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