Determine o operador
do
cujas matrizes em relação às bases canônica de V e
de W é:
.
Determine as imagens de
utilizando
.
Determine as imagens de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um operador linear
onde
é
e
também é
(já que as matrizes são 2x2). A matriz que representa esse operador em relação à base canônica de
e à base
de
é:
Queremos determinar a imagem do vetor
usando a relação:
Para isso, vamos precisar entender como calcular coordenadas em diferentes bases e como aplicar a matriz do operador nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vetor
na base canônica de
, que na verdade já são
, já que a base canônica de
é
.
Mas como queremos as coordenadas de
na base
de
, precisamos expressar
como combinação linear dos vetores da base
.
A base
, então queremos achar scalars
e
tais que:
Isso significa:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a matriz do operador
nas coordenadas de
na base
.
Sabemos que:
A matriz
é a matriz do operador
na base
, que já nos foi dada:
E
.
Vamos multiplicar a matriz pela coordenada do vetor:
Passo 5
Agora, temos
. Para encontrar a imagem
no espaço
, precisamos converter essas coordenadas de volta para as coordenadas padrão de
.
Usando a base
, temos:
Resposta
A imagem de
pelo operador
é
.