Determine o operador T: V W do R^2 cujas matrizes em relação às bases canônica de V e beta=(1,1) ;(1,2) de W é:
A=(ll1 & 0 1 & 2).
Determine as imagens de v=(1,2) utilizando [T v]beta=[T]beta^beta^prime cdot[v]beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um operador linear A = 1 & 0 1 & 2 onde [Tv]beta = [T]beta^beta' cdot [v]beta é e também é (já que as matrizes são 2x2). A matriz que representa esse operador em relação à base canônica de e à base de é:
Queremos determinar a imagem do vetor usando a relação:
Para isso, vamos precisar entender como calcular coordenadas em diferentes bases e como aplicar a matriz do operador nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = c1 b1 + c2 b2 na base canônica de (1,2) = c1 (1,1) + c2 (1,2) = (c1 + c2, c1 + 2c2) , que na verdade já são c1 + c2 = 1 c1 + 2c2 = 2 , já que a base canônica de é .
Mas como queremos as coordenadas de na base de , precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base .
A base , então queremos achar scalars e tais que:
Isso significa:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar (c1 + 2c2) - (c1 + c2) = 2 - 1 c2 = 1 e c1 + 1 = 1 c1 = 0 .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
0 1
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a matriz do operador [Tv]beta = [T]beta^beta' cdot [v]beta nas coordenadas de [T]beta^beta' = 1 & 0 1 & 2 na base 0 1 .
Sabemos que:
[Tv]beta = 1 & 0 1 & 2 cdot 0 1 = (1)(0) + (0)(1) (1)(0) + (2)(1) = 0 2
A matriz é a matriz do operador na base , que já nos foi dada:
E .
Vamos multiplicar a matriz pela coordenada do vetor:

Passo 5

Agora, temos 0 2 . Para encontrar a imagem Tv = 0 cdot (1,1) + 2 cdot (1,2) = (0,0) + (2,4) = (2,4) no espaço , precisamos converter essas coordenadas de volta para as coordenadas padrão de .
Usando a base , temos:

Resposta

A imagem de pelo operador é .

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