Verifique se: O conjunto de todas as matrizes
com entradas inteiras é subespaço de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de todas as matrizes
com entradas inteiras é um subespaço de
. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
- Fechado sob adição: A soma de duas matrizes do conjunto também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer escalar do campo (aqui, números reais) também deve resultar em uma matriz do conjunto.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto das matrizes
com entradas inteiras.
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é a matriz onde todos os elementos são zero, que é um número inteiro. Então, a matriz zero está no nosso conjunto.
A matriz zero é a matriz onde todos os elementos são zero, que é um número inteiro. Então, a matriz zero está no nosso conjunto.
2. Fechado sob adição:
Se pegarmos duas matrizes com entradas inteiras e somarmos elemento a elemento, o resultado também terá entradas inteiras. Por exemplo:
$$
+
$$
Aqui, todas as entradas são inteiras. Então, o conjunto é fechado sob adição.
Aqui, todas as entradas são inteiras. Então, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, aqui é que pode dar problema. Vamos multiplicar uma matriz com entradas inteiras por um escalar real qualquer e ver se o resultado ainda tem todas as entradas inteiras.
Agora, aqui é que pode dar problema. Vamos multiplicar uma matriz com entradas inteiras por um escalar real qualquer e ver se o resultado ainda tem todas as entradas inteiras.
Por exemplo, multipliquemos a matriz:
por 0.5:
$$
0.5 \times
$$
Veja que nem todas as entradas são inteiras após a multiplicação. Isso significa que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Veja que nem todas as entradas são inteiras após a multiplicação. Isso significa que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto de todas as matrizes
com entradas inteiras não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço de
.