Verifique se: O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras é subespaço de M2 times 2(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras é um subespaço de M2 times 2(R). Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
  2. Fechado sob adição: A soma de duas matrizes do conjunto também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer escalar do campo (aqui, números reais) também deve resultar em uma matriz do conjunto.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto das matrizes 2 times 2 com entradas inteiras.
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é a matriz onde todos os elementos são zero, que é um número inteiro. Então, a matriz zero está no nosso conjunto.

2. Fechado sob adição:
Se pegarmos duas matrizes com entradas inteiras e somarmos elemento a elemento, o resultado também terá entradas inteiras. Por exemplo:
$$
1 & 2 3 & 4 + 5 & 6 7 & 8 = 6 & 8 10 & 12
+
1 & 2 3 & 4

0.5 times 1 & 2 3 & 4 = 0.5 & 1 1.5 & 2
$$
Aqui, todas as entradas são inteiras. Então, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, aqui é que pode dar problema. Vamos multiplicar uma matriz com entradas inteiras por um escalar real qualquer e ver se o resultado ainda tem todas as entradas inteiras.

Por exemplo, multipliquemos a matriz:

por 0.5:
$$
0.5 \times

$$
Veja que nem todas as entradas são inteiras após a multiplicação. Isso significa que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço de M2 times 2(R).

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