Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir duas coisas sobre a equação diferencial parcial
. Primeiro, a ordem da equação, que é basicamente a maior derivada que aparece nela. Segundo, se essa equação é linear ou não linear. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e o que significa uma equação ser linear.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Olhando a nossa equação:
Temos duas derivadas:
que é a segunda derivada em relação ao tempo
, e
que é a quarta derivada em relação ao espaço
. A maior dessas é a quarta derivada, então a ordem da equação é 4.
Passo 3
Agora, vamos entender se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as derivadas da função
apareçam apenas na primeira potência e não sejam multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes das derivadas podem depender das variáveis, mas não de
ou suas derivadas.
Na nossa equação:
Todas as derivadas de
aparecem na primeira potência e não estão multiplicadas entre si ou com
de alguma outra forma. Além disso, os coeficientes (neste caso, 1 e 4) são constantes, ou seja, não dependem de
nem de suas derivadas. Portanto, a equação é linear.
Resposta
A equação diferencial parcial
é de quarta ordem e é uma equação linear.
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Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Sejam a , b e ę números reais. Tem-se:
, para todo ę
.
Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.