Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
u u_x - 2 x y u_y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão me pede é para descobrir a ordem dessa equação diferencial parcial:
Além disso, precisamos verificar se essa equação é linear ou não linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa a ordem de uma equação diferencial e o conceito de linearidade.

Passo 2

Determinar a ordem da equação:
A ordem de uma equação diferencial é dada pelo maior grau da derivada presente na equação. Olhando para a nossa equação:
Temos duas derivadas parciais:
  • que é a derivada de primeira ordem em relação a .
  • que é a derivada de primeira ordem em relação a .
Como as maiores derivadas são de primeira ordem, a ordem da equação é primeira ordem.

Passo 3

Verificar se a equação é linear ou não linear:
Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma:
Ou seja, as derivadas de aparecem apenas de forma linear (não multiplicadas entre si nem elevadas a alguma potência).
Na nossa equação:
Observamos que temos um termo , que é um produto de com a sua derivada . Esse produto torna a equação não linear, porque as derivadas não aparecem de forma linear.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é de primeira ordem e não é linear.

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