Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. . Dica: pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que multiplicar um número negativo por outro número real é o mesmo que multiplicar os dois números normalmente e, em seguida, mudar o sinal do resultado. Ou seja, mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e explorar a dica que sugere somar com .

Passo 2

Vamos considerar a soma . Segundo a propriedade distributiva, podemos fatorar em comum:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora, queremos isolar . Podemos fazer isso subtraindo dos dois lados da equação anterior:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Observamos que:
Isso significa que multiplicar por é o mesmo que multiplicar por e então mudar o sinal do resultado.

Resposta

Portanto, provamos que:

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Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace .
Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. , se .