Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
. Dica: pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que multiplicar um número negativo por outro número real é o mesmo que multiplicar os dois números normalmente e, em seguida, mudar o sinal do resultado. Ou seja, mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e explorar a dica que sugere somar
com
.
Passo 2
Vamos considerar a soma
. Segundo a propriedade distributiva, podemos fatorar
em comum:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 3
Agora, queremos isolar
. Podemos fazer isso subtraindo
dos dois lados da equação anterior:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Observamos que:
Isso significa que multiplicar
por
é o mesmo que multiplicar
por
e então mudar o sinal do resultado.
Resposta
Portanto, provamos que: