Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial parcial (EDP):
A tarefa é descobrir a ordem dessa equação e verificar se ela é linear ou não linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ordem e linearidade em EDPs.
Passo 2
Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa EDP:
-
é uma derivada de segunda ordem. -
também é de segunda ordem. -
é também de segunda ordem. -
é de primeira ordem. -
é de primeira ordem.
A maior derivada aqui é de segunda ordem, então a ordem da equação é 2.
Passo 3
Linearidade da Equação
Para verificar a linearidade, precisamos ver se a equação pode ser escrita na forma linear:
onde os coeficientes
são funções de
e
e não dependem de
ou suas derivadas, e não há termos com
multiplicando suas derivadas ou se elevando a alguma potência.
Na nossa EDP:
- Os primeiros três termos (
) estão na forma linear. - Mas os últimos dois termos têm
e , que são não lineares porque envolvem produtos e potências das derivadas e da função .
Passo 4
Conclusão sobre a Linearidade
Como existem termos não lineares na equação (
e
), a equação não é linear.
Resposta
A equação diferencial parcial tem ordem 2 e é não linear.