Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
u_xx + 2x u_xy + 5 u_yy - 3 u_x^2 + y u u_y = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial parcial (EDP):
A tarefa é descobrir a ordem dessa equação e verificar se ela é linear ou não linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ordem e linearidade em EDPs.

Passo 2

Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa EDP:
  • é uma derivada de segunda ordem.
  • também é de segunda ordem.
  • é também de segunda ordem.
  • é de primeira ordem.
  • é de primeira ordem.
A maior derivada aqui é de segunda ordem, então a ordem da equação é 2.

Passo 3

Linearidade da Equação
Para verificar a linearidade, precisamos ver se a equação pode ser escrita na forma linear:
onde os coeficientes são funções de e e não dependem de ou suas derivadas, e não há termos com multiplicando suas derivadas ou se elevando a alguma potência.
Na nossa EDP:
  • Os primeiros três termos ( ) estão na forma linear.
  • Mas os últimos dois termos têm e , que são não lineares porque envolvem produtos e potências das derivadas e da função .

Passo 4

Conclusão sobre a Linearidade
Como existem termos não lineares na equação ( e ), a equação não é linear.

Resposta

A equação diferencial parcial tem ordem 2 e é não linear.

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