Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é uma solução da Equação de Laplace, que é dada por . Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno, representada por . A derivada de em relação a é , e a segunda derivada é novamente. Isso vai ajudar na hora de calcular as derivadas de .

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que chamamos de :
Primeira derivada em :
Segunda derivada em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, :
Primeira derivada em :
Segunda derivada em :

Passo 5

Agora que temos e , vamos somar essas duas expressões:

Passo 6

Para que seja uma solução da Equação de Laplace, a soma deve ser igual a zero. Porém, observamos que:
ã
Isso significa que a equação só é satisfeita em pontos específicos, não em todo o domínio.

Resposta

A função não é uma solução geral da Equação de Laplace .

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Mostre que uma condição necessária para é e ou e .
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