Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função
é uma solução da Equação de Laplace, que é dada por
. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e ver se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno, representada por
. A derivada de
em relação a
é
, e a segunda derivada é
novamente. Isso vai ajudar na hora de calcular as derivadas de
.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que chamamos de
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos somar essas duas expressões:
Passo 6
Para que
seja uma solução da Equação de Laplace, a soma
deve ser igual a zero. Porém, observamos que:
Isso significa que a equação só é satisfeita em pontos específicos, não em todo o domínio.
Resposta
A função
não é uma solução geral da Equação de Laplace
.
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Mostre que uma condição necessária para
é
e
ou
e
.
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