Determine a ordem das matrizes e , sabendo-se que tem ordem tem ordem e tem ordem .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as ordens das matrizes e . Isso envolve entender como multiplicação de matrizes funciona e como as dimensões delas se relacionam. Para isso, vamos usar as regras de multiplicação de matrizes e as informações que o enunciado nos deu sobre as dimensões dos produtos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes e , onde tem dimensão e tem dimensão , o produto só existe se o número de colunas de for igual ao número de linhas de , ou seja, . O resultado terá dimensão .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro produto dado: tem ordem . Vamos supor que:
  • tem dimensão
  • tem dimensão
Então, (transposta de ) tem dimensão .
Para multiplicar por , o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Ou seja, .
O resultado terá dimensão . Como sabemos que é , temos:
Então:
  • é
  • é

Passo 4

Agora, vamos para o segundo produto: tem ordem .
Primeiro, só faz sentido se e tiverem a mesma dimensão. Se tem dimensão , então tem dimensão . Portanto, também deve ser .
Vamos chamar a dimensão de de .
Para multiplicar por , o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Então:
O resultado da multiplicação tem dimensão , que é . Portanto:
Com isso, sabemos que:
  • é
  • é
  • é (já que )

Passo 5

Por último, vamos analisar o terceiro produto: tem ordem .
Vamos supor que tem dimensão . Então, tem dimensão .
Para multiplicar por , o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Então:
O resultado terá dimensão . Como sabemos que é :
Portanto, tem dimensão .

Resposta

As ordens das matrizes são:

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