Determine a ordem das matrizes
e
, sabendo-se que
tem ordem
tem ordem
e
tem ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as ordens das matrizes
e
. Isso envolve entender como multiplicação de matrizes funciona e como as dimensões delas se relacionam. Para isso, vamos usar as regras de multiplicação de matrizes e as informações que o enunciado nos deu sobre as dimensões dos produtos
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes
e
, onde
tem dimensão
e
tem dimensão
, o produto
só existe se o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
, ou seja,
. O resultado terá dimensão
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro produto dado:
tem ordem
. Vamos supor que:
-
tem dimensão -
tem dimensão
Então,
(transposta de
) tem dimensão
.
Para multiplicar
por
, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Ou seja,
.
O resultado
terá dimensão
. Como sabemos que
é
, temos:
Então:
-
é -
é
Passo 4
Agora, vamos para o segundo produto:
tem ordem
.
Primeiro,
só faz sentido se
e
tiverem a mesma dimensão. Se
tem dimensão
, então
tem dimensão
. Portanto,
também deve ser
.
Vamos chamar a dimensão de
de
.
Para multiplicar
por
, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Então:
O resultado da multiplicação
tem dimensão
, que é
. Portanto:
Com isso, sabemos que:
-
é -
é -
é (já que )
Passo 5
Por último, vamos analisar o terceiro produto:
tem ordem
.
Vamos supor que
tem dimensão
. Então,
tem dimensão
.
Para multiplicar
por
, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Então:
O resultado
terá dimensão
. Como sabemos que é
:
Portanto,
tem dimensão
.
Resposta
As ordens das matrizes são:
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Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
(conjunto de vetores no plano) e
e
- Sejam as matrizes
e que verificam . Sabendo que é uma matriz de ordem , quais são as ordens das outra quatro matrizes?