Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
não é um subespaço vetorial do espaço
. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz os critérios necessários para ser um subespaço, ou seja, se ele contém o vetor zero, se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se esse vetor está em
.
Segundo a definição de
:
Para encontrar
que faz
, temos:
Aqui, vemos que para
, o segundo componente é
, ou seja,
, não
. E para
, temos
, que também não é
. Portanto, o vetor zero não está em
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Mesmo que já tenhamos identificado que o vetor zero não está em
, vamos verificar essa condição para entender melhor.
Sejam
e
em
. A soma desses vetores é:
Para que
esteja em
, deve ser da forma
para algum
. No entanto, observamos que o segundo componente é
, o que não corresponde a
. Isso significa que a soma de dois vetores em
não necessariamente está em
.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos verificar como a multiplicação por um escalar afeta um vetor em
.
Seja
em
e
um escalar real. A multiplicação resulta em:
Para que
esteja em
, deve ser da forma
para algum
. Comparando, temos:
A menos que
, essa igualdade não se mantém para todo
, o que mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalares, podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
Considere as matrizes
e
com respectivas ordens,
,
e
. Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Determine a ordem das matrizes
e
, sabendo-se que
tem ordem
tem ordem
e
tem ordem
.
Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
(conjunto de vetores no plano) e
e