Mostre que o conjunto W não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
E=R^2 e W=(x, x+3) ; x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial do espaço . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz os critérios necessários para ser um subespaço, ou seja, se ele contém o vetor zero, se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se W = (x, x + 3) ;|; x in R contém o vetor zero:
O vetor zero em x = 0 e x + 3 = 0 implies x = -3 é . Vamos ver se esse vetor está em .
Segundo a definição de :
Para encontrar que faz , temos:
Aqui, vemos que para , o segundo componente é , ou seja, , não . E para , temos , que também não é . Portanto, o vetor zero não está em .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Mesmo que já tenhamos identificado que o vetor zero não está em u + v = (x + y, (x + y) + 6) , vamos verificar essa condição para entender melhor.
Sejam e em . A soma desses vetores é:
Para que esteja em , deve ser da forma para algum . No entanto, observamos que o segundo componente é , o que não corresponde a . Isso significa que a soma de dois vetores em não necessariamente está em .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos verificar como a multiplicação por um escalar afeta um vetor em cu = (cx, c(x + 3)) = (cx, cx + 3c) .
Seja cx + 3c = z + 3 implies z = cx + 3c - 3 em e um escalar real. A multiplicação resulta em:
Para que esteja em , deve ser da forma para algum . Comparando, temos:
A menos que , essa igualdade não se mantém para todo , o que mostra que não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalares, podemos concluir que não é um subespaço vetorial de .

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