Mostre que o conjunto não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar. e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. E o conjunto é definido como . A pergunta é: por que não é um subespaço vetorial de ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: No nosso caso, o polinômio zero é .
É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores (polinômios) em e somar, o resultado também deve estar em .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicar por um escalar, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para .
Passo 3
Primeira condição: Contém o vetor zero. O vetor zero no espaço é o polinômio . Vamos ver se esse polinômio pertence a .
No conjunto , todo polinômio tem a forma . Para obter o vetor zero, precisaríamos que , e o termo constante seja . Mas em , o termo constante é sempre , independentemente dos valores de e . Ou seja, nunca contém o polinômio zero.
Passo 4
Já que não contém o vetor zero, ele já não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras condições, porque a ausência do vetor zero já é suficiente para concluir que não é um subespaço.
Resposta
Então, como não contém o vetor zero, ele não é um subespaço vetorial de .