Mostre que o conjunto W não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
E=P3 e W=a x^3+b x^2-1: a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial E = P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. E o conjunto W é definido como W = a x^3 + b x^2 - 1 : a, b in R. A pergunta é: por que W não é um subespaço vetorial de E? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se W satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial E é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, o polinômio zero é 0x^3 + 0x^2 + 0.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores (polinômios) em W e somar, o resultado também deve estar em W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em W e multiplicar por um escalar, o resultado também deve estar em W.
Vamos verificar essas condições para W.

Passo 3

Primeira condição: Contém o vetor zero. O vetor zero no espaço P3 é o polinômio 0x^3 + 0x^2 + 0. Vamos ver se esse polinômio pertence a W.
No conjunto W, todo polinômio tem a forma a x^3 + b x^2 - 1. Para obter o vetor zero, precisaríamos que a = 0, b = 0 e o termo constante seja 0. Mas em W, o termo constante é sempre -1, independentemente dos valores de a e b. Ou seja, W nunca contém o polinômio zero.

Passo 4

Já que W não contém o vetor zero, ele já não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras condições, porque a ausência do vetor zero já é suficiente para concluir que W não é um subespaço.

Resposta

Então, como W não contém o vetor zero, ele não é um subespaço vetorial de P3.

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