Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. E o conjunto
é definido como
. A pergunta é: por que
não é um subespaço vetorial de
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, o polinômio zero é
. - É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores (polinômios) em
e somar, o resultado também deve estar em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicar por um escalar, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
Primeira condição: Contém o vetor zero. O vetor zero no espaço
é o polinômio
. Vamos ver se esse polinômio pertence a
.
No conjunto
, todo polinômio tem a forma
. Para obter o vetor zero, precisaríamos que
,
e o termo constante seja
. Mas em
, o termo constante é sempre
, independentemente dos valores de
e
. Ou seja,
nunca contém o polinômio zero.
Passo 4
Já que
não contém o vetor zero, ele já não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras condições, porque a ausência do vetor zero já é suficiente para concluir que
não é um subespaço.
Resposta
Então, como
não contém o vetor zero, ele não é um subespaço vetorial de
.