Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a função
e determinar as ordens de cada pólo e zero dessa função. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções complexas, especificamente sobre zeros e pólos, além de saber um pouco sobre a função logarítmica e a função seno no contexto complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter zeros ou pólos. Observamos que os zeros da função ocorrerão onde o numerador
for zero e os pólos onde o denominador
for zero.
Passo 3
Vamos começar analisando os zeros do numerador
. Sabemos que
quando
, ou seja, quando
. Portanto,
é um zero da função.
Passo 4
Agora, vamos ver o denominador
. Ele será zero quando
ou
. Claramente,
faz
e também
quando
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 5
Precisamos analisar o ponto
cuidadosamente, já que tanto o numerador quanto o denominador se anulam nesse ponto. Isso sugere que podemos ter uma indeterminação aí, o que significa que precisamos verificar as ordens do zero e do pólo nesse ponto.
Passo 6
Vamos expandir
em série de Taylor em torno de
:
Vemos que o termo de menor ordem é
, então
tem um zero simples em
.
Passo 7
Agora, consideremos
. Sabemos que
pode ser expandido em série de Taylor:
Multiplicando por
, temos:
O termo de menor ordem é
, então
tem um zero de ordem 3 em
.
Passo 8
Comparando agora, a função tem um zero simples no numerador e um zero de ordem 3 no denominador em
. Isso significa que, no total, temos um pólo de ordem
em
.
Passo 9
Por fim, consideramos os demais zeros de
, que ocorrem em
para qualquer inteiro
. Nesses pontos, o numerador
não é zero (a não ser quando
é 0, que já analisamos). Assim, cada
com
é um pólo simples, já que
tem zeros simples nesses pontos e não há cancelamento com o numerador.
Resposta
A função
possui:
- Um pólo de ordem 2 em
. - Pólos simples (ordem 1) em todos os pontos
para qualquer inteiro .