Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções. log(1+z)/(z^2 sen(z)).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a função e determinar as ordens de cada pólo e zero dessa função. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções complexas, especificamente sobre zeros e pólos, além de saber um pouco sobre a função logarítmica e a função seno no contexto complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter zeros ou pólos. Observamos que os zeros da função ocorrerão onde o numerador for zero e os pólos onde o denominador for zero.

Passo 3

Vamos começar analisando os zeros do numerador . Sabemos que quando , ou seja, quando . Portanto, é um zero da função.

Passo 4

Agora, vamos ver o denominador . Ele será zero quando ou . Claramente, faz e também quando , onde é qualquer inteiro.

Passo 5

Precisamos analisar o ponto cuidadosamente, já que tanto o numerador quanto o denominador se anulam nesse ponto. Isso sugere que podemos ter uma indeterminação aí, o que significa que precisamos verificar as ordens do zero e do pólo nesse ponto.

Passo 6

Vamos expandir em série de Taylor em torno de :
Vemos que o termo de menor ordem é , então tem um zero simples em .

Passo 7

Agora, consideremos . Sabemos que pode ser expandido em série de Taylor:
Multiplicando por , temos:
O termo de menor ordem é , então tem um zero de ordem 3 em .

Passo 8

Comparando agora, a função tem um zero simples no numerador e um zero de ordem 3 no denominador em . Isso significa que, no total, temos um pólo de ordem em .

Passo 9

Por fim, consideramos os demais zeros de , que ocorrem em para qualquer inteiro . Nesses pontos, o numerador não é zero (a não ser quando é 0, que já analisamos). Assim, cada com é um pólo simples, já que tem zeros simples nesses pontos e não há cancelamento com o numerador.

Resposta

A função possui:
  • Um pólo de ordem 2 em .
  • Pólos simples (ordem 1) em todos os pontos para qualquer inteiro .

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