Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas:
; em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método das cascas cilíndricas. Imagine que você tem uma “casca” fina e vertical dentro da região que estamos girando. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância da casca até o eixo de rotação (no nosso caso, o eixo
), e
é a altura da casca, que depende das funções que delimitam a região.
Passo 3
Vamos identificar as funções que delimitam a região e determinar a altura
. As curvas são
,
e
.
Para uma dada
entre os limites, a altura da casca será a diferença entre as duas funções
:
Agora, precisamos descobrir os limites de integração
e
. A região está limitada até
, mas também precisamos ver onde as duas funções se encontram. Resolvendo
:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Vamos colocar tudo na fórmula do método das cascas cilíndricas:
Vamos separar a integral para facilitar:
Passo 5
Agora, precisamos resolver as duas integrais. Vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
de forma que
.
Primeira integral:
Escolha:
Aplicando integração por partes:
Segunda integral:
Escolha:
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a 1:
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.