Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas: y = e^x, y = e^-x, x = 1; em torno do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método das cascas cilíndricas. Imagine que você tem uma “casca” fina e vertical dentro da região que estamos girando. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância da casca até o eixo de rotação (no nosso caso, o eixo ), e é a altura da casca, que depende das funções que delimitam a região.

Passo 3

Vamos identificar as funções que delimitam a região e determinar a altura . As curvas são , e .
Para uma dada entre os limites, a altura da casca será a diferença entre as duas funções :
Agora, precisamos descobrir os limites de integração e . A região está limitada até , mas também precisamos ver onde as duas funções se encontram. Resolvendo :
Então, os limites de integração são de a .

Passo 4

Vamos colocar tudo na fórmula do método das cascas cilíndricas:
Vamos separar a integral para facilitar:

Passo 5

Agora, precisamos resolver as duas integrais. Vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e de forma que .
Primeira integral:
Escolha:
Aplicando integração por partes:
Segunda integral:
Escolha:
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a 1:
Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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