Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas: y = e^(-x), y = 0, x = -1, x = 0 em torno de x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de cálculo envolvendo o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada. As curvas que delimitam essa região são , , e , e vamos girar essa região em torno da reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método das cascas cilíndricas e aplicar algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Ela está entre e no eixo x, e entre e no eixo y. Ao girar essa região em torno da reta , vamos formar um sólido tridimensional.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação. A ideia é imaginar o sólido como sendo formado por várias “casca” cilíndricas fininhas empilhadas. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura pequena (dx).

Passo 4

Para aplicar o método, precisamos identificar:
  • Altura da casca: Isso corresponde à função que está delimitando a região no eixo y, que é .
  • Raio da casca: É a distância da casca em relação ao eixo de rotação . Como estamos girando em torno de e nosso varia de -1 a 0, o raio será .
  • Espessura da casca: É um pequeno incremento em x, representado por .

Passo 5

A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Substituindo o que identificamos:

Passo 6

Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Podemos expandir o integrando:
A primeira integral é direta, e para a segunda, vamos usar a integração por partes.

Passo 8

Calculando a primeira integral:
Avaliado de -1 a 0:

Passo 9

Para a segunda integral, , usamos integração por partes onde:
Aplicando:
Avaliado de -1 a 0:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão do volume:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido gerado é .

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