Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas:
em torno de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de cálculo envolvendo o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada. As curvas que delimitam essa região são
,
,
e
, e vamos girar essa região em torno da reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método das cascas cilíndricas e aplicar algumas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Ela está entre
e
no eixo x, e entre
e
no eixo y. Ao girar essa região em torno da reta
, vamos formar um sólido tridimensional.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação. A ideia é imaginar o sólido como sendo formado por várias “casca” cilíndricas fininhas empilhadas. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura pequena (dx).
Passo 4
Para aplicar o método, precisamos identificar:
- Altura da casca: Isso corresponde à função que está delimitando a região no eixo y, que é
. - Raio da casca: É a distância da casca em relação ao eixo de rotação
. Como estamos girando em torno de e nosso varia de -1 a 0, o raio será . - Espessura da casca: É um pequeno incremento em x, representado por
.
Passo 5
A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Substituindo o que identificamos:
Passo 6
Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de
até
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Podemos expandir o integrando:
A primeira integral é direta, e para a segunda, vamos usar a integração por partes.
Passo 8
Calculando a primeira integral:
Avaliado de -1 a 0:
Passo 9
Para a segunda integral,
, usamos integração por partes onde:
Aplicando:
Avaliado de -1 a 0:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão do volume:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.