Sejam
e
matrizes quadradas da mesma ordem, prove que:
(a) Se
não é invertível, então
não é invertível.
(b) Se
é invertível, então
e
são invertíveis.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que trata sobre matrizes quadradas e suas propriedades de invertibilidade. A questão está dividida em duas partes:
(a) Se a matriz não é invertível, então o produto
também não é invertível.
(b) Se o produto é invertível, então tanto
quanto
são invertíveis.
Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como isso se relaciona com o produto de duas matrizes.
(a) Se a matriz
(b) Se o produto
Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como isso se relaciona com o produto de duas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz invertível. Uma matriz quadrada
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Se uma matriz não tem inversa, dizemos que ela não é invertível ou que é singular.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a): Se
não é invertível, então
não é invertível. Suponhamos que
não seja invertível. Isso significa que o determinante de
é zero (
).
Passo 4
Sabemos que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes:
Como
, então:
Isso mostra que
também tem determinante zero, ou seja,
não é invertível.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): Se
é invertível, então
e
são invertíveis. Suponhamos que
seja invertível. Então existe uma matriz
tal que:
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados da equação à direita por
(se existir) e à esquerda por
(se existir). No entanto, queremos provar que
e
são invertíveis.
Passo 7
Uma propriedade importante é que se
é invertível, então tanto
quanto
devem ser invertíveis. Isso porque se uma das matrizes não fosse invertível, teríamos
ou
, o que implicaria
, contradizendo a invertibilidade de
.
Passo 8
Portanto, concluímos que se
é invertível, então necessariamente
e
também precisam ser invertíveis individualmente.
Resposta
(a) Se
não é invertível, então
também não é invertível.
(b) Se é invertível, então tanto
quanto
são invertíveis.
(b) Se
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas às quais pertencem os pares de pontos abaixo e classifique-as em crescentes ou decrescentes.
e origem;
Determine as equações das retas às quais pertencem os pares de pontos abaixo e classifique-as em crescentes ou decrescentes.
e
.
Determine
de modo que sejam perpendiculares a retas
e
. R :
ou
Determine a equação da reta
que é perpendicular à reta
e passa por
, nos casos:
;