Sejam e matrizes quadradas da mesma ordem, prove que:
(a) Se não é invertível, então não é invertível.
(b) Se é invertível, então e são invertíveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata sobre matrizes quadradas e suas propriedades de invertibilidade. A questão está dividida em duas partes:
(a) Se a matriz não é invertível, então o produto também não é invertível.
(b) Se o produto é invertível, então tanto quanto são invertíveis.
Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como isso se relaciona com o produto de duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Se uma matriz não tem inversa, dizemos que ela não é invertível ou que é singular.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): Se não é invertível, então não é invertível. Suponhamos que não seja invertível. Isso significa que o determinante de é zero ( ).

Passo 4

Sabemos que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes:
Como , então:
Isso mostra que também tem determinante zero, ou seja, não é invertível.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Se é invertível, então e são invertíveis. Suponhamos que seja invertível. Então existe uma matriz tal que:

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados da equação à direita por (se existir) e à esquerda por (se existir). No entanto, queremos provar que e são invertíveis.

Passo 7

Uma propriedade importante é que se é invertível, então tanto quanto devem ser invertíveis. Isso porque se uma das matrizes não fosse invertível, teríamos ou , o que implicaria , contradizendo a invertibilidade de .

Passo 8

Portanto, concluímos que se é invertível, então necessariamente e também precisam ser invertíveis individualmente.

Resposta

(a) Se não é invertível, então também não é invertível.
(b) Se é invertível, então tanto quanto são invertíveis.

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