Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o par de funções e são linearmente independentes ou dependentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem linearmente independentes e como verificar isso usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar, o que significa duas funções serem linearmente independentes? Basicamente, isso quer dizer que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Ou seja, não existe um número tal que ou vice-versa.

Passo 3

Agora, para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear que resulta na função zero. Matemática falando, queremos achar se existem constantes e não ambas zero, tal que:
Substituindo as funções dadas:

Passo 4

Vamos analisar essa equação para diferentes valores de . Vamos considerar dois casos: quando e quando .
Caso 1:
Aqui, , então a equação fica:
Para isso ser verdadeiro para todo , temos que:
Caso 2:
Neste caso, , então a equação fica:
Para que isso seja válido para todo , deve-se ter:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que não existem constantes não triviais (ou seja, diferentes de zero) que satisfaçam a combinação linear igual a zero.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

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