Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, escrevemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Como o termo do lado direito é , vamos supor uma solução da forma:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes correspondentes:
Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Sejam e soluções da equação , onde e são contínuas em um intervalo aberto . Prove que e são linearmente dependentes em se, e somente se, para todo . Prove também que, e são linearmente independentes em se, e somente se, para todo .
Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:
e .
Resolva o PVI e .