Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, escrevemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o termo do lado direito é
, vamos supor uma solução da forma:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes correspondentes:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Sejam
e
soluções da equação
, onde
e
são contínuas em um intervalo aberto
. Prove que
e
são linearmente dependentes em
se, e somente se,
para todo
. Prove também que,
e
são linearmente independentes em
se, e somente se,
para todo
.
Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:
e
.
Resolva o PVI
e
.