Se as funções
e
são soluções linearmente independentes de
, prove que
e
também formam um conjunto linearmente independente de soluções. Vale a recíproca deste resultado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que, se
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial
, então as funções
e
também formam um conjunto linearmente independente de soluções. Além disso, queremos saber se a recíproca desse resultado também é verdadeira. Vamos usar conceitos de soluções de equações diferenciais e independência linear pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem lineares independentes. Duas funções
e
são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta na função zero é quando os coeficientes são ambos zero, ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Agora, sabemos que
e
são soluções da equação diferencial dada. Pela linearidade da equação diferencial, qualquer combinação linear dessas soluções também é uma solução. Então,
e
também são soluções da equação.
Passo 4
Para provar que
e
são linearmente independentes, vamos assumir que existe uma combinação linear
. Substituindo
e
, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Como
e
são linearmente independentes, a única solução para
é que os coeficientes sejam zero:
Resolvendo esse sistema, temos
e
.
Passo 6
Como a única solução para a combinação linear de
e
que dá zero é quando
, isso significa que
e
são linearmente independentes.
Passo 7
Quanto à recíproca, ou seja, se
e
são soluções linearmente independentes, isso implica que
e
também são linearmente independentes? A resposta é sim. Podemos reescrever
e
em termos de
e
:
Se
e
são linearmente independentes, então as combinações lineares que dão zero para
e
também implicam que os coeficientes são zero, mantendo assim a independência linear de
e
.
Resposta
Portanto,
e
formam um conjunto linearmente independente de soluções da equação diferencial dada. Além disso, a recíproca também é verdadeira: se
e
forem soluções linearmente independentes, então
e
também são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Encontre um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
, onde
e
são números reais diferentes de zero.
A temperatura de um ponto A (
) de uma superficie R é dada por:
Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:
e
.
Sejam
e
soluções da equação
, onde
e
são contínuas em um intervalo aberto
. Prove que
e
são linearmente dependentes em
se, e somente se,
para todo
. Prove também que,
e
são linearmente independentes em
se, e somente se,
para todo
.