Se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y'' + p(t) y' + q(t) y = 0, prove que y3 = y1 + y2 e y4 = y1 - y2 também formam um conjunto linearmente independente de soluções. Vale a recíproca deste resultado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que, se e são soluções linearmente independentes da equação diferencial , então as funções e também formam um conjunto linearmente independente de soluções. Além disso, queremos saber se a recíproca desse resultado também é verdadeira. Vamos usar conceitos de soluções de equações diferenciais e independência linear pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem lineares independentes. Duas funções e são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta na função zero é quando os coeficientes são ambos zero, ou seja, se implica que .

Passo 3

Agora, sabemos que e são soluções da equação diferencial dada. Pela linearidade da equação diferencial, qualquer combinação linear dessas soluções também é uma solução. Então, e também são soluções da equação.

Passo 4

Para provar que e são linearmente independentes, vamos assumir que existe uma combinação linear . Substituindo e , temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Como e são linearmente independentes, a única solução para é que os coeficientes sejam zero:
Resolvendo esse sistema, temos e .

Passo 6

Como a única solução para a combinação linear de e que dá zero é quando , isso significa que e são linearmente independentes.

Passo 7

Quanto à recíproca, ou seja, se e são soluções linearmente independentes, isso implica que e também são linearmente independentes? A resposta é sim. Podemos reescrever e em termos de e :
Se e são linearmente independentes, então as combinações lineares que dão zero para e também implicam que os coeficientes são zero, mantendo assim a independência linear de e .

Resposta

Portanto, e formam um conjunto linearmente independente de soluções da equação diferencial dada. Além disso, a recíproca também é verdadeira: se e forem soluções linearmente independentes, então e também são linearmente independentes.

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