Sejam e soluções da equação , onde e são contínuas em um intervalo aberto . Prove que e são linearmente dependentes em se, e somente se, para todo . Prove também que, e são linearmente independentes em se, e somente se, para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar duas coisas sobre soluções de uma equação diferencial de segunda ordem. Primeiro, que duas soluções e são linearmente dependentes se, e somente se, o Wronskiano é zero em todo o intervalo . Segundo, que elas são linearmente independentes se o Wronskiano não for zero em nenhum ponto de . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa serem soluções da equação . Isso quer dizer que e satisfazem essa equação para todo no intervalo .
Além disso, precisamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
Ele nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes ou dependentes.

Passo 3

Primeiro, vamos provar que se e são linearmente dependentes, então para todo em .
Se as funções são linearmente dependentes, existe uma constante tal que . Vamos derivar isso:
Agora, calculamos o Wronskiano:
Então, mostramos que se são linearmente dependentes, o Wronskiano é zero.

Passo 4

Agora, vamos provar o contrário: se para todo em , então e são linearmente dependentes.
Sabemos que:
Isso implica que:
Integrando ambos os lados em relação a :
Portanto, é múltiplo de , o que significa que são linearmente dependentes.

Passo 5

Agora, vamos provar que se o Wronskiano para todo em , então e são linearmente independentes.
Se o Wronskiano não é zero, isso significa que não existe uma constante tal que para todo . Ou seja, as funções não são múltiplos umas das outras, o que caracteriza a independência linear.

Resposta

Portanto, provamos que e são linearmente dependentes em se, e somente se, para todo em , e são linearmente independentes se, e somente se, para todo em .

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e .
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Resolva o PVI e .