Encontre um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
, onde
e
são números reais diferentes de zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações características e analisar as raízes dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para equações da forma
, a equação característica é dada por:
Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de
que determinarão as soluções da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
O que está dentro da raiz,
, é o discriminante que vai nos dizer a natureza das raízes.
Passo 4
Vamos analisar o discriminante
:
- Se
: Temos duas raízes reais e distintas. - Se
: Temos duas raízes reais e iguais. - Se
: Temos duas raízes complexas conjugadas.
Essa análise é importante porque cada caso leva a um tipo diferente de solução para a equação diferencial.
Passo 5
Vamos tratar cada caso separadamente:
-
Caso
:
As raízes são reais e distintas:e .
As soluções são: -
Caso
:
As raízes são reais e iguais:.
As soluções são: -
Caso
:
As raízes são complexas:.
As soluções são:
Passo 6
Portanto, o conjunto fundamental de soluções depende do valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: onde.
Resposta
O conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
é:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
Essas soluções formam um conjunto fundamental que descreve todas as soluções possíveis da equação diferencial dada.