Encontre um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial y'' + k y' + alpha y = 0, onde k e alpha são números reais diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações características e analisar as raízes dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para equações da forma , a equação característica é dada por:
Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de que determinarão as soluções da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
O que está dentro da raiz, , é o discriminante que vai nos dizer a natureza das raízes.

Passo 4

Vamos analisar o discriminante :
  • Se : Temos duas raízes reais e distintas.
  • Se : Temos duas raízes reais e iguais.
  • Se : Temos duas raízes complexas conjugadas.
Essa análise é importante porque cada caso leva a um tipo diferente de solução para a equação diferencial.

Passo 5

Vamos tratar cada caso separadamente:
  1. Caso :
    As raízes são reais e distintas: e .
    As soluções são:
  2. Caso :
    As raízes são reais e iguais: .
    As soluções são:
  3. Caso :
    As raízes são complexas: .
    As soluções são:

Passo 6

Portanto, o conjunto fundamental de soluções depende do valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    onde .

Resposta

O conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial é:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Essas soluções formam um conjunto fundamental que descreve todas as soluções possíveis da equação diferencial dada.

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