Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir se as funções e são linearmente independentes ou dependentes. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre independência linear de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz formada por essas funções e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa as funções serem linearmente independentes ou dependentes. Duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Se puder, elas são linearmente dependentes. Uma maneira de testar isso é usar o Wronskiano, que é um determinante que nos ajuda a verificar essa independência.

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano das funções e . O Wronskiano é definido como:

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas das funções:

Passo 5

Agora, substituímos , , e na matriz do Wronskiano:

Passo 6

Para calcular o determinante, multiplicamos a diagonal principal e subtraímos o produto da diagonal secundária:

Passo 7

Simplificando os termos:

Passo 8

Observe que os termos e se cancelam. Ficando:

Passo 9

Fatorando o :
Sabemos que , então:

Passo 10

Agora, analisamos o Wronskiano. Como e nunca é zero para qualquer , o Wronskiano nunca é zero.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

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