Estude as convergências das sequências a_n :
(raiz(n^2 + 1) - raiz(n))^-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos estudar a convergência dessa sequência, ou seja, descobrir para onde ela tende quando fica muito grande. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses para facilitar o cálculo do limite. Temos:
Perceba que pode ser aproximado para valores grandes de . Sabemos que quando é grande, porque o termo domina sobre o 1.

Passo 3

Vamos então reescrever a expressão considerando essa aproximação:
Isso vem da expansão binomial para quando é pequeno. Aqui, .

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 5

Agora, vamos analisar os termos:
  • cresce de forma linear com .
  • tende a 0 quando cresce.
  • cresce mais lentamente que .
Portanto, para muito grande, a expressão é aproximadamente .

Passo 6

Agora, voltamos à sequência original:

Passo 7

Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito. Portanto, a sequência também tende a 0.

Resposta

A sequência converge para 0 quando tende ao infinito.

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