Estude as convergências das sequências
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos estudar a convergência dessa sequência, ou seja, descobrir para onde ela tende quando
fica muito grande. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e manipulação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses para facilitar o cálculo do limite. Temos:
Perceba que
pode ser aproximado para valores grandes de
. Sabemos que
quando
é grande, porque o termo
domina sobre o 1.
Passo 3
Vamos então reescrever a expressão considerando essa aproximação:
Isso vem da expansão binomial para
quando
é pequeno. Aqui,
.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 5
Agora, vamos analisar os termos:
-
cresce de forma linear com . -
tende a 0 quando cresce. -
cresce mais lentamente que .
Portanto, para
muito grande, a expressão
é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, voltamos à sequência original:
Passo 7
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito. Portanto, a sequência
também tende a 0.
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:
a. O cilindro e a superfície
.
b. O parabolóide e o cilindro parabólico
.
c. O cone e o plano
.
d. O cilindro e o plano
.
a. O cilindro
b. O parabolóide
c. O cone
d. O cilindro
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Calcule, caso existam, os limites a seguir: