Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
sen
, em que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para identificar e esboçar a superfície parametrizada por
, onde
. Vamos usar conceitos de parametrização de superfícies e análise de coordenadas para entender a forma dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a parametrização dada. A função
nos dá as coordenadas
da superfície em termos das variáveis
e
. Então, temos:
Passo 3
Observando as primeiras duas equações, vemos que
e
. Isso é semelhante à parametrização polar, onde
representa a distância radial e
o ângulo. Portanto,
e
descrevem um círculo de raio
no plano
.
Passo 4
A terceira equação nos dá
. Isso relaciona a coordenada
com
. Como
varia de 0 a 4,
varia de
a
.
Passo 5
Para entender a forma geral da superfície, podemos eliminar os parâmetros
e
. Sabemos que
. E como
, então
.
Passo 6
A equação
representa uma parábola circular ou um paraboloide. Essa superfície se abre na direção positiva do eixo
e tem uma forma semelhante a uma tigela.
Resposta
A superfície parametrizada por
, com
, é um paraboloide circular definido pela equação
. O esboço dessa superfície mostra uma forma de tigela que se estende até
.
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, sen
, em que
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine uma parametrização para a superfície
.