Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: r(u, v) = (v * cos(u), v) sen u, v^2, em que 0 <= v <= 4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para identificar e esboçar a superfície parametrizada por , onde . Vamos usar conceitos de parametrização de superfícies e análise de coordenadas para entender a forma dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a parametrização dada. A função nos dá as coordenadas da superfície em termos das variáveis e . Então, temos:

Passo 3

Observando as primeiras duas equações, vemos que e . Isso é semelhante à parametrização polar, onde representa a distância radial e o ângulo. Portanto, e descrevem um círculo de raio no plano .

Passo 4

A terceira equação nos dá . Isso relaciona a coordenada com . Como varia de 0 a 4, varia de a .

Passo 5

Para entender a forma geral da superfície, podemos eliminar os parâmetros e . Sabemos que . E como , então .

Passo 6

A equação representa uma parábola circular ou um paraboloide. Essa superfície se abre na direção positiva do eixo e tem uma forma semelhante a uma tigela.

Resposta

A superfície parametrizada por , com , é um paraboloide circular definido pela equação . O esboço dessa superfície mostra uma forma de tigela que se estende até .

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