Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é a parte do plano
que está no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar uma parametrização para a superfície
, que é a parte do plano
que está no primeiro octante. Primeiro octante significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar planos no espaço tridimensional usando duas variáveis, geralmente
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Normalmente, escolhemos a variável que é mais fácil de isolar. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, precisamos definir duas variáveis livres que vão servir como parâmetros. Vamos usar
para representar
e
para representar
. Assim, podemos escrever:
Passo 4
Com essas definições, substituímos
e
na equação que encontramos para
:
Passo 5
Agora temos todas as três coordenadas
,
e
em termos dos parâmetros
e
. Então, a parametrização da superfície
fica:
Resposta
A parametrização para a superfície
é:
Exercícios relacionados
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a área de superfície de
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e abaixo do plano
. Calcule a integral de superfície
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, em que
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
.