Determine uma parametrização para a superfície , em que: é a parte do plano que está no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar uma parametrização para a superfície , que é a parte do plano que está no primeiro octante. Primeiro octante significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar planos no espaço tridimensional usando duas variáveis, geralmente e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Normalmente, escolhemos a variável que é mais fácil de isolar. Vamos isolar :

Passo 3

Agora, precisamos definir duas variáveis livres que vão servir como parâmetros. Vamos usar para representar e para representar . Assim, podemos escrever:

Passo 4

Com essas definições, substituímos e na equação que encontramos para :

Passo 5

Agora temos todas as três coordenadas , e em termos dos parâmetros e . Então, a parametrização da superfície fica:

Resposta

A parametrização para a superfície é:

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Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a área de superfície de .
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e abaixo do plano . Calcule a integral de superfície
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: , em que .
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: .