Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4 e acima do plano x y. Calcule a área de superfície de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma parte específica de uma esfera. A esfera é definida pela equação , que tem raio 3. A parte que queremos está dentro de um cilindro dado por (raio 2) e acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral para encontrar a área dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interseção entre a esfera e o cilindro. A esfera tem raio 3 e o cilindro tem raio 2, ambos centrados na origem. Queremos a parte da esfera que está dentro do cilindro, ou seja, onde , e acima do plano , ou seja, onde .

Passo 3

Para calcular a área dessa superfície, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que o problema envolve um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, , , e , onde é a distância ao eixo e é o ângulo no plano .

Passo 4

Na esfera , podemos resolver para :
Como estamos considerando apenas a parte acima do plano , usamos apenas a raiz positiva.

Passo 5

A área da superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como estamos dentro do cilindro e varia de a , os limites são:

Passo 7

Integrando agora para encontrar a área total :
Primeiro, resolvemos a integral em :
Fazemos uma substituição , então ou . Substituindo:

Passo 8

Agora, integramos em :

Resposta

A área de superfície de é unidades quadradas.

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