Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a área de superfície de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma parte específica de uma esfera. A esfera é definida pela equação , que tem raio 3. A parte que queremos está dentro de um cilindro dado por (raio 2) e acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral para encontrar a área dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a interseção entre a esfera e o cilindro. A esfera tem raio 3 e o cilindro tem raio 2, ambos centrados na origem. Queremos a parte da esfera que está dentro do cilindro, ou seja, onde , e acima do plano , ou seja, onde .
Passo 3
Para calcular a área dessa superfície, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que o problema envolve um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, , , e , onde é a distância ao eixo e é o ângulo no plano .
Passo 4
Na esfera , podemos resolver para :
Como estamos considerando apenas a parte acima do plano , usamos apenas a raiz positiva.
Passo 5
A área da superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como estamos dentro do cilindro e varia de a , os limites são:
Passo 7
Integrando agora para encontrar a área total :
Primeiro, resolvemos a integral em :
Fazemos uma substituição , então ou . Substituindo: