Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: , em que .

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos identificar e fazer um esboço da superfície parametrizada por , onde . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica e Superfícies Parametrizadas. Para resolver isso, vamos entender como a parametrização funciona e como o domínio influencia na forma da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a parametrização . Isso significa que para cada par de valores , temos um ponto na superfície com coordenadas onde:
Então, a relação entre e é:
Essa é a equação de um paraboloide circular, que é uma superfície curva que se abre para cima.

Passo 3

Agora, vamos considerar o domínio . Isso descreve um círculo no plano com raio 3, ou seja, . Isso limita os valores de e que podemos usar para plotar a superfície, restringindo-a a uma parte específica do paraboloide.

Passo 4

Para esboçar a superfície, vamos visualizar o paraboloide e considerar que estamos apenas olhando para a parte onde . Isso significa que a superfície será um paraboloide cortado por um círculo de raio 3 no plano .

Passo 5

Então, o esboço da superfície será um paraboloide circular que se estende a partir do ponto e se abre para cima, mas somente até onde e estão dentro de um círculo de raio 3. Além desse raio, a superfície não existe conforme definido pelo domínio .

Resposta

A superfície parametrizada por com é um paraboloide circular que se abre para cima, limitado por um círculo de raio 3 no plano . O esboço mostra uma curva parabólica tridimensional com a base circular de raio 3.

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Determine uma parametrização para a superfície , em que: é a parte do plano que está no primeiro octante.
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a área de superfície de .
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: .
Seja a parte da esfera que está dentro de . Determine uma parametrização para a superfície .