Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, em que
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos identificar e fazer um esboço da superfície parametrizada por
, onde
. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica e Superfícies Parametrizadas. Para resolver isso, vamos entender como a parametrização funciona e como o domínio
influencia na forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a parametrização
. Isso significa que para cada par de valores
, temos um ponto na superfície com coordenadas
onde:
Então, a relação entre
e
é:
Essa é a equação de um paraboloide circular, que é uma superfície curva que se abre para cima.
Passo 3
Agora, vamos considerar o domínio
. Isso descreve um círculo no plano
com raio 3, ou seja,
. Isso limita os valores de
e
que podemos usar para plotar a superfície, restringindo-a a uma parte específica do paraboloide.
Passo 4
Para esboçar a superfície, vamos visualizar o paraboloide
e considerar que estamos apenas olhando para a parte onde
. Isso significa que a superfície será um paraboloide cortado por um círculo de raio 3 no plano
.
Passo 5
Então, o esboço da superfície será um paraboloide circular que se estende a partir do ponto
e se abre para cima, mas somente até onde
e
estão dentro de um círculo de raio 3. Além desse raio, a superfície não existe conforme definido pelo domínio
.
Resposta
A superfície parametrizada por
com
é um paraboloide circular que se abre para cima, limitado por um círculo de raio 3 no plano
. O esboço mostra uma curva parabólica tridimensional com a base circular de raio 3.
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é a parte do plano
que está no primeiro octante.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a área de superfície de
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine uma parametrização para a superfície
.