Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar e fazer um esboço da superfície parametrizada por . Isso está dentro do conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre superfícies no espaço 3D. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações paramétricas para descobrir que tipo de superfície estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as componentes do vetor separadamente:
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para encontrar uma equação que relacione , e .
Passo 3
Da segunda equação, podemos resolver para :
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Passo 4
Com os valores de e em mãos, vamos substituir na terceira equação para encontrar em termos de e :
Vamos simplificar isso passo a passo:
Então, a equação da superfície é:
Passo 5
Essa equação é a de um plano no espaço tridimensional. Um plano é uma superfície plana infinita que pode ser representada por uma equação linear em , e .
Passo 6
Para fazer um esboço desse plano, podemos encontrar interceptos com os eixos:
Intercepto com o eixo x ():
Então, o intercepto é .
Intercepto com o eixo y ():
Então, o intercepto é .
Intercepto com o eixo z ():
Então, o intercepto é .
Com esses pontos, dá para desenhar o plano no espaço 3D, conectando-os e estendendo a superfície infinitamente.
Resposta
A superfície parametrizada por é um plano definido pela equação . O esboço desse plano pode ser feito utilizando os interceptos com os eixos , e , conforme calculado.