Seja S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 que está dentro do cilindro x^2+y^2=4 e abaixo do plano x y. Calcule a integral de superfície integral duplaS y^2 d S

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui! Temos uma parte da esfera definida pela equação , que está dentro de um cilindro e abaixo do plano . Nosso objetivo é calcular a integral de superfície .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície, coordenadas cilíndricas e como parametrizar a superfície . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A esfera tem raio 4. O cilindro tem raio 2 e é infinito ao longo do eixo . A parte da esfera que está dentro do cilindro e abaixo do plano (ou seja, onde ) é a nossa área de interesse.

Passo 3

Agora, vamos escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos. As coordenadas cilíndricas são uma ótima escolha aqui porque temos simetria circular devido ao cilindro e à esfera. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
z = z
Onde é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície z = -raiz16 - r^2 . Como está na esfera, podemos expressar em função de :
Aqui, escolhemos o sinal negativo porque estamos interessados na parte da esfera abaixo do plano .

Passo 5

Agora, precisamos expressar a integral de superfície dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas. O elemento de área partial zpartial r = rraiz16 - r^2 para uma superfície parametrizada por partial zpartial theta = 0 é dado por:
dS = 4raiz16 - r^2 , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o elemento de área fica:

Passo 6

Vamos agora substituir integral duplaS y^2 , dS = integral0^2pi integral0^2 (r sin(theta))^2 cdot 4rraiz16 - r^2 , dr , dtheta e = 4 integral0^2pi integral0^2 r^3 sin^2(theta)raiz16 - r^2 , dr , dtheta na integral:
= 4 ( integral0^2pi sin^2(theta) , dtheta ) ( integral0^2 r^3raiz16 - r^2 , dr )
Simplificando:
integral0^2pi sin^2(theta) , dtheta = pi
Podemos separar as integrais:
integral0^2 r^3raiz16 - r^2 , dr
Sabemos que:
= -12 integral16^12 (16 - u)raizu , du
Agora, vamos resolver a integral em = 12 integral12^16 16 - uraizu , du :
= 12 ( 16 integral12^16 u^-1/2 , du - integral12^16 u^1/2 , du )
Fazendo a substituição = 12 ( 16 [ 2 u^1/2 ]12^16 - [ 23 u^3/2 ]12^16 ) , = 12 ( 32 ( 4 - raiz12 ) - 23 ( 64 - 12 raiz12 ) ) , o que nos dá:
= 12 ( 128 - 32 raiz12 - 1283 + 8 raiz12 )
= 12 ( 2563 - 24 raiz12 )
= 1283 - 12 raiz12

Resposta

A integral de superfície 1283 - 12 raiz12 é igual a:

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