Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e abaixo do plano . Calcule a integral de superfície

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui! Temos uma parte da esfera definida pela equação , que está dentro de um cilindro e abaixo do plano . Nosso objetivo é calcular a integral de superfície .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície, coordenadas cilíndricas e como parametrizar a superfície . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A esfera tem raio 4. O cilindro tem raio 2 e é infinito ao longo do eixo . A parte da esfera que está dentro do cilindro e abaixo do plano (ou seja, onde ) é a nossa área de interesse.

Passo 3

Agora, vamos escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos. As coordenadas cilíndricas são uma ótima escolha aqui porque temos simetria circular devido ao cilindro e à esfera. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Onde é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície . Como está na esfera, podemos expressar em função de :
Aqui, escolhemos o sinal negativo porque estamos interessados na parte da esfera abaixo do plano .

Passo 5

Agora, precisamos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas. O elemento de área para uma superfície parametrizada por é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o elemento de área fica:

Passo 6

Vamos agora substituir e na integral:
Simplificando:
Podemos separar as integrais:
Sabemos que:
Agora, vamos resolver a integral em :
Fazendo a substituição , , o que nos dá:

Resposta

A integral de superfície é igual a:

Exercícios relacionados

Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: , em que .
Se uma folha fina tem o formato de uma superfície e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto da folha for , então, a massa total da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação . Suponha que a densidade da folha é (unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a área de superfície de .
Determine uma parametrização para a superfície , em que: é a parte do plano que está no primeiro octante.