Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e abaixo do plano
. Calcule a integral de superfície
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui! Temos uma parte da esfera definida pela equação
, que está dentro de um cilindro
e abaixo do plano
. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície, coordenadas cilíndricas e como parametrizar a superfície
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A esfera
tem raio 4. O cilindro
tem raio 2 e é infinito ao longo do eixo
. A parte da esfera que está dentro do cilindro e abaixo do plano
(ou seja, onde
) é a nossa área de interesse.
Passo 3
Agora, vamos escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos. As coordenadas cilíndricas são uma ótima escolha aqui porque temos simetria circular devido ao cilindro e à esfera. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Onde
é a distância do ponto ao eixo
e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície
. Como
está na esfera, podemos expressar
em função de
:
Aqui, escolhemos o sinal negativo porque estamos interessados na parte da esfera abaixo do plano
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar a integral de superfície
em coordenadas cilíndricas. O elemento de área
para uma superfície parametrizada por
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o elemento de área fica:
Passo 6
Vamos agora substituir
e
na integral:
Simplificando:
Podemos separar as integrais:
Sabemos que:
Agora, vamos resolver a integral em
:
Fazendo a substituição
,
, o que nos dá:
Resposta
A integral de superfície
é igual a:
Exercícios relacionados
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, em que
.
Se uma folha fina tem o formato de uma superfície
e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto
da folha for
, então, a massa total
da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto
dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação
. Suponha que a densidade da folha é
(unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a área de superfície de
.
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é a parte do plano
que está no primeiro octante.