Determine uma parametrização para a superfície , em que: é o plano que contém os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização para a superfície , que é o plano que passa pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever qualquer ponto desse plano usando parâmetros. Vamos usar vetores e equações de plano para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e .

Passo 3

Agora que temos dois vetores que estão no plano, podemos usar a parametrização do plano. A ideia é que qualquer ponto no plano pode ser escrito como o ponto mais uma combinação linear dos vetores e . Isso fica assim:
Onde e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.

Passo 4

Vamos substituir os valores que encontramos para , e na equação acima:
Agora, vamos separar isso em coordenadas , e :

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:

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Determine a área de superfície: A esfera de raio .
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à no ponto .
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: .
Seja a parte da esfera que está dentro de . Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .