Determine uma parametrização para a superfície S, em que: S é o plano que contém os pontos A = (1, -1, 0), B = (3, 5, 2) e C = (-2, 0, -3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização para a superfície , que é o plano que passa pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever qualquer ponto desse plano usando parâmetros. Vamos usar vetores e equações de plano para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e .

Passo 3

Agora que temos dois vetores que estão no plano, podemos usar a parametrização do plano. A ideia é que qualquer ponto no plano pode ser escrito como o ponto mais uma combinação linear dos vetores e . Isso fica assim:
Onde e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.

Passo 4

Vamos substituir os valores que encontramos para , e na equação acima:
Agora, vamos separar isso em coordenadas , e :

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:

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