Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera dada pela equação
e uma superfície
que é a parte dessa esfera que está dentro de
. O objetivo aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano tangente a uma esfera no ponto
pode ser encontrada usando o gradiente da função que define a esfera. A esfera é dada por
. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de máxima inclinação da função e é perpendicular à superfície da esfera nesse ponto.
Passo 3
Calculando o gradiente
da esfera, temos:
No ponto
, o gradiente fica:
Esse vetor
será o vetor normal ao plano tangente que queremos encontrar.
Passo 4
A equação de um plano com vetor normal
passando pelo ponto
é dada por:
No nosso caso,
e
. Substituindo esses valores na equação do plano, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Ou reorganizando:
Essa é a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
.
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é o plano que contém os pontos
e
.
Se uma folha fina tem o formato de uma superfície
e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto
da folha for
, então, a massa total
da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto
dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação
. Suponha que a densidade da folha é
(unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, em que
.