Seja a parte da esfera que está dentro de . Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera dada pela equação e uma superfície que é a parte dessa esfera que está dentro de . O objetivo aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano tangente a uma esfera no ponto pode ser encontrada usando o gradiente da função que define a esfera. A esfera é dada por . O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de máxima inclinação da função e é perpendicular à superfície da esfera nesse ponto.

Passo 3

Calculando o gradiente da esfera, temos:
No ponto , o gradiente fica:
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente que queremos encontrar.

Passo 4

A equação de um plano com vetor normal passando pelo ponto é dada por:
No nosso caso, e . Substituindo esses valores na equação do plano, temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Ou reorganizando:
Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto .

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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e o centro de massa da folha é o ponto dado por
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Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: , em que .