Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: r(u, v) = (2 + 3u + v, 1, 5 - u + 4v).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para identificar e fazer um esboço da superfície parametrizada por . Vamos trabalhar com geometria analítica e parametrização de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma função vetorial parametriza uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão de . Ela nos dá as coordenadas e em termos dos parâmetros e :
Perceba que o valor de é sempre 1, independente dos valores de e . Isso significa que a superfície está restrita ao plano onde .

Passo 3

Agora, vamos expressar e em termos de e :
Podemos pensar nesses como duas equações lineares que relacionam e com e . Para identificar a superfície, vamos tentar eliminar os parâmetros e dessas equações.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para e . Primeiro, isolamos de uma das equações. Por exemplo, da equação de :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Vamos simplificar isso para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 5

Multiplicando tudo por 3 para eliminar a fração:
Agora, isolamos :
Agora, temos expressões para e em termos de e . Mas, para identificar a superfície, percebemos que é constante.

Passo 6

Como é sempre 1, e temos uma relação linear entre e , isso significa que a superfície parametrizada é um plano no espaço tridimensional. Esse plano é paralelo ao eixo e inclinado conforme as relações de e .

Resposta

A superfície parametrizada por é um plano no espaço tridimensional, que pode ser representado pela equação linear . O esboço desse plano é um retângulo infinito paralelo ao eixo , situado na altura .

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