Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para identificar e fazer um esboço da superfície parametrizada por
. Vamos trabalhar com geometria analítica e parametrização de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma função vetorial parametriza uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão de
. Ela nos dá as coordenadas
e
em termos dos parâmetros
e
:
Perceba que o valor de
é sempre 1, independente dos valores de
e
. Isso significa que a superfície está restrita ao plano onde
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
e
em termos de
e
:
Podemos pensar nesses como duas equações lineares que relacionam
e
com
e
. Para identificar a superfície, vamos tentar eliminar os parâmetros
e
dessas equações.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para
e
. Primeiro, isolamos
de uma das equações. Por exemplo, da equação de
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Vamos simplificar isso para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 5
Multiplicando tudo por 3 para eliminar a fração:
Agora, isolamos
:
Agora, temos expressões para
e
em termos de
e
. Mas, para identificar a superfície, percebemos que
é constante.
Passo 6
Como
é sempre 1, e temos uma relação linear entre
e
, isso significa que a superfície parametrizada é um plano no espaço tridimensional. Esse plano é paralelo ao eixo
e inclinado conforme as relações de
e
.
Resposta
A superfície parametrizada por
é um plano no espaço tridimensional, que pode ser representado pela equação linear
. O esboço desse plano é um retângulo infinito paralelo ao eixo
, situado na altura
.
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é o plano que contém os pontos
e
.
Determine a área de superfície: A esfera de raio
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Se uma folha fina tem o formato de uma superfície
e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto
da folha for
, então, a massa total
da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto
dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação
. Suponha que a densidade da folha é
(unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.