Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pares ordenados de forma que a função seja contínua em .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com continuidade de funções em um ponto, especificamente em .
O que vamos precisar:
Definição de continuidade em um ponto.
Cálculo de limites laterais.
Propriedades de funções trigonométricas e limites básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto. Uma função limx to c^- f(x) = limx to c^+ f(x) = f(c) é contínua em se:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda () e pela direita (), e igualar ambos a .
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, limx to 0^- f(x) = limx to 0^- a^2 sin(4x)x :
limx to 0^- a^2 sin(4x)x = a^2 cdot 4 = 4a^2
Sabemos que , onde é constante. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ ( b^2 + ( 1 - cos(x)x ) sin( 1x ) ) :
limx to 0^+ ( 1 - cos(x)x cdot sin( 1x ) ) = 0
Vamos analisar cada parte separadamente:
limx to 0^+ f(x) = b^2 + 0 = b^2
Sabemos que , porque o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador.
é uma função oscilante que fica entre e , mas multiplicada por algo que tende a 0, então o produto também tende a 0.
Assim:
Portanto:
Passo 5
Agora, para a função ser contínua em limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) = f(0) , precisamos que os limites laterais sejam iguais a 4a^2 = b^2 e b^2 = b :
b^2 - b = 0 implies b(b - 1) = 0 implies b = 0 ou b = 1
Então:
4a^2 = 0 implies a^2 = 0 implies a = 0
Vamos resolver essas equações:
4a^2 = 1 implies a^2 = 14 implies a = 12 ou a = -12
Isso implica que:
Agora, substituímos cada valor de na primeira equação :
Se :
Se :
Resposta
Os pares ordenados (a, b) = (0, 0), ( 12, 1 ), ( -12, 1 ) que tornam a função contínua em são: