Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pares ordenados
de forma que a função
seja contínua em
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com continuidade de funções em um ponto, especificamente em
.
O que vamos precisar:
- Definição de continuidade em um ponto.
- Cálculo de limites laterais.
- Propriedades de funções trigonométricas e limites básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
No nosso caso,
. Então, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
) e pela direita (
), e igualar ambos a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda,
:
Sabemos que
, onde
é constante. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita,
:
Vamos analisar cada parte separadamente:
Sabemos que
, porque o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador.
-
é uma função oscilante que fica entre e , mas multiplicada por algo que tende a 0, então o produto também tende a 0.
Assim:
Portanto:
Passo 5
Agora, para a função ser contínua em
, precisamos que os limites laterais sejam iguais a
:
Então:
Vamos resolver essas equações:
Isso implica que:
- Agora, substituímos cada valor de
na primeira equação :
- Se
:
- Se
:
Resposta
Os pares ordenados
que tornam a função contínua em
são:
Exercícios relacionados
Use os limites para encontrar a derivada de:
Seja:
Calcule cada limite, se ele existir:
Calcule cada limite, se ele existir:
Para:
Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista mas f não seja contínua em
.
Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista
Seja:
Onde é diferenciável?
Onde