Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pares ordenados de forma que a função seja contínua em .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com continuidade de funções em um ponto, especificamente em .
O que vamos precisar:
  • Definição de continuidade em um ponto.
  • Cálculo de limites laterais.
  • Propriedades de funções trigonométricas e limites básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), e igualar ambos a .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, :
Sabemos que , onde é constante. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, :
Vamos analisar cada parte separadamente:
Sabemos que , porque o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador.
  1. é uma função oscilante que fica entre e , mas multiplicada por algo que tende a 0, então o produto também tende a 0.
Assim:
Portanto:

Passo 5

Agora, para a função ser contínua em , precisamos que os limites laterais sejam iguais a :
Então:
Vamos resolver essas equações:
Isso implica que:
  1. Agora, substituímos cada valor de na primeira equação :
  • Se :
  • Se :

Resposta

Os pares ordenados que tornam a função contínua em são:

Exercícios relacionados

Use os limites para encontrar a derivada de:
Seja:

Calcule cada limite, se ele existir:
Para:

Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista mas f não seja contínua em .
Seja:

Onde é diferenciável?