Para:

Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista mas f não seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, e precisa encontrar valores para e de forma que o limite de quando se aproxima de 5 exista, mas a função não seja contínua em . Isso envolve entender limites e continuidade de funções, então vamos precisar usar esses conceitos para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Queremos que o limite de quando se aproxima de 5 exista. Isso significa que os limites laterais (quando se aproxima de 5 pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 5 pela esquerda ( ):
Substituindo 5 na expressão:
Então, o limite pela esquerda é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 5 pela direita ( ):
Simplificando a fração:
Então:
Portanto, o limite fica:
Assim, o limite pela direita é .

Passo 5

Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais:
Isso dá uma relação entre e :
çã

Passo 6

Agora, queremos que a função não seja contínua em . Para continuidade, além dos limites laterais iguais, o valor da função em deve ser igual a esse limite comum.
Sabemos que . Então, para a função ser contínua, teríamos:
Mas queremos que a função não seja contínua, então deve ser diferente desse limite comum.

Passo 7

Para garantir a existência do limite, usamos a equação . Agora, escolhemos valores para e que satisfazem essa equação.
Por exemplo, podemos escolher:
Isso verifica , que satisfaz a equação 1.

Passo 8

Com e :
  • O limite pela esquerda é
  • O limite pela direita é
Como os limites laterais são iguais a 10, mas , a função não é contínua em .

Resposta

Um exemplo de valores é e . Com esses valores, , mas , garantindo que a função não seja contínua em .

Exercícios relacionados

Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em .
Use os limites para encontrar a derivada de:
Seja:

Onde é diferenciável?
Para:

(desafio) Para os valores de a e b do item anterior, existe (5)? (Calcule utilizando limites)