Para:
f(x)= x^2-3 x+a & se x<5 2 & se x=5 x^2-6 x+5x-5+b & se x>5
Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x 5 f(x) mas f não seja contínua em x=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, e precisa encontrar valores para e de forma que o limite de quando se aproxima de 5 exista, mas a função não seja contínua em . Isso envolve entender limites e continuidade de funções, então vamos precisar usar esses conceitos para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x)= x^2-3x+a & se x<5 2 & se x=5 x^2-6x+5x-5 + b & se x>5 :
Queremos que o limite de quando se aproxima de 5 exista. Isso significa que os limites laterais (quando se aproxima de 5 pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando limx to 5^- f(x) = limx to 5^- (x^2 - 3x + a) se aproxima de 5 pela esquerda ( = 5^2 - 3(5) + a = 25 - 15 + a = 10 + a ):
Substituindo 5 na expressão:
Então, o limite pela esquerda é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 5^+ f(x) = limx to 5^+ ( x^2 - 6x + 5x - 5 + b ) se aproxima de 5 pela direita ( x^2 - 6x + 5 = (x-5)(x-1) ):
(x-5)(x-1)x-5 = x - 1 (para x neq 5)
Simplificando a fração:
limx to 5^+ (x - 1 + b) = 5 - 1 + b = 4 + b
Então:
Portanto, o limite fica:
Assim, o limite pela direita é .

Passo 5

Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais:
10 + a = 4 + b
Isso dá uma relação entre a - b = -6 (equação 1) e :
çã

Passo 6

Agora, queremos que a função não seja contínua em 10 + a = 2 e 4 + b = 2 . Para continuidade, além dos limites laterais iguais, o valor da função em deve ser igual a esse limite comum.
Sabemos que . Então, para a função ser contínua, teríamos:
Mas queremos que a função não seja contínua, então deve ser diferente desse limite comum.

Passo 7

Para garantir a existência do limite, usamos a equação a = 0 e b = 6 . Agora, escolhemos valores para e que satisfazem essa equação.
Por exemplo, podemos escolher:
Isso verifica , que satisfaz a equação 1.

Passo 8

Com e :
  • O limite pela esquerda é
  • O limite pela direita é
Como os limites laterais são iguais a 10, mas , a função não é contínua em .

Resposta

Um exemplo de valores é e . Com esses valores, , mas , garantindo que a função não seja contínua em .

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