Use os limites para encontrar a derivada de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando limites. Isso tudo faz parte do estudo de derivadas na cálculo diferencial. Para isso, vamos usar a definição de derivada que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada usando limites. A derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando essa variação (
) se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos substituir nossa função
na definição. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
. Usando a fórmula do binômio de Newton:
Então:
Passo 5
Agora, vamos subtrair
de
:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, dividimos essa diferença por
:
Passo 7
Por fim, aplicamos o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
é: