Use os limites para encontrar a derivada de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando limites. Isso tudo faz parte do estudo de derivadas na cálculo diferencial. Para isso, vamos usar a definição de derivada que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada usando limites. A derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação ( ) se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir nossa função na definição. Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos expandir . Usando a fórmula do binômio de Newton:
Então:

Passo 5

Agora, vamos subtrair de :
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, dividimos essa diferença por :

Passo 7

Por fim, aplicamos o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Seja:

Calcule cada limite, se ele existir:
Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em .
Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em .
Para:

Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista mas f não seja contínua em .