Determine se os pares de retas e abaixo, s ao paralelas ou concorrentes. Encontre uma equa, ao geral do plano que as contb) As retas
s̃ao dadas
c) As retas por: saao dadas por:
:
c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se as retas e são paralelas ou concorrentes. Além disso, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, vetores direcionadores e equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas e .
A reta é dada por:
Aqui, é o parâmetro. Isso significa que passa pelo ponto e tem um vetor diretor .
A reta está um pouco confusa no enunciado, mas vamos considerar que está dada por:
Então, passa pelo ponto e tem um vetor diretor .
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas ou concorrentes.
Duas retas são paralelas se seus vetores direcionadores são múltiplos entre si. Ou seja, existe um número real 2-1 = -2 e 3-1 = -3 tal que 1 + 2t = -t (x) -2 + 3t = -2 - t (y) 3 = 3 (z) .
Como , os vetores não são múltiplos, então as retas não são paralelas.
Como as retas não são paralelas, elas podem ser concorrentes (ou seja, se cruzam em um ponto) ou não. Para verificar isso, vamos ver se existe um valor de que satisfaça as equações das retas simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, vamos verificar na segunda equação:
Como não conseguimos um valor que satisfaça ambas as equações, as retas não se cruzam. Portanto, as retas são concorrentes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação geral do plano que contém as duas retas Ax + By + Cz + D = 0 e n = v1 times PQ = i & j & k 2 & 3 & 0 -1 & 0 & 0 = (0, 0, 3) .
Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita como: