Determine se os pares de retas e abaixo, s ao paralelas ou concorrentes. Encontre uma equa, ao geral do plano que as contb) As retas
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c) As retas por: saao dadas por:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se as retas e são paralelas ou concorrentes. Além disso, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, vetores direcionadores e equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas e .
A reta é dada por:
Aqui, é o parâmetro. Isso significa que passa pelo ponto e tem um vetor diretor .
A reta está um pouco confusa no enunciado, mas vamos considerar que está dada por:
Então, passa pelo ponto e tem um vetor diretor .
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas ou concorrentes.
Duas retas são paralelas se seus vetores direcionadores são múltiplos entre si. Ou seja, existe um número real tal que .
Vamos comparar com :
Como , os vetores não são múltiplos, então as retas não são paralelas.
Como as retas não são paralelas, elas podem ser concorrentes (ou seja, se cruzam em um ponto) ou não. Para verificar isso, vamos ver se existe um valor de que satisfaça as equações das retas simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, vamos verificar na segunda equação:
Como não conseguimos um valor que satisfaça ambas as equações, as retas não se cruzam. Portanto, as retas são concorrentes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação geral do plano que contém as duas retas e .
Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita como:
Para determinar os coeficientes , , e , precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano.
Primeiro, pegamos um ponto de cada reta. Vamos usar de e de .
Em seguida, encontramos dois vetores no plano:
O vetor dirigido por :
O vetor entre os pontos e :
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial entre e :
Então, o vetor normal é .
Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano fica:
Resposta
As retas e não são paralelas e não se cruzam, ou seja, são concorrentes. A equação geral do plano que as contém é: